Problème de Cauchy
Bonjour
Voici un exercice dans lequel j'ai eu des difficultés.
Surtout à partir de a deuxième question. Quelqu'un aurait le temps de m'expliquer cette question ?
Merci d'avance.
Exercice.
1- Donner la solution de $\quad y''+9y= 0.$
Je trouve sans problème la solution $\quad y(x)= A\cos(3x)+B\sin(3x) .$
2- Résoudre le problème de Cauchy $$(1-x²)y''-xy' + 9y=0 . ~~~et~~~y(0)=a~~~~y'(0)=b$$
Voici un exercice dans lequel j'ai eu des difficultés.
Surtout à partir de a deuxième question. Quelqu'un aurait le temps de m'expliquer cette question ?
Merci d'avance.
Exercice.
1- Donner la solution de $\quad y''+9y= 0.$
Je trouve sans problème la solution $\quad y(x)= A\cos(3x)+B\sin(3x) .$
2- Résoudre le problème de Cauchy $$(1-x²)y''-xy' + 9y=0 . ~~~et~~~y(0)=a~~~~y'(0)=b$$
Réponses
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L'équa. diff. $x^2 y^{\, \prime \prime} + x y^{\, \prime} - 9y = 0$ est une équation d'Euler, et se résout à l'aide du changement de variable $t = \ln x$, qui ramène l'équation à une l'équa diff linéaire $z^{\, \prime \prime} + 9 z = 0$, où l'on a posé $z(t) = y\left( e^t \right)$, d'où le rôle de la première question.
Maintenant, ou bien :
(i) il y a une erreur dans cet énoncé ;
(ii) il n'y a pas d'erreur, et il faut faire appel à la théorie de Sturm-Liouville pour la résoudre : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_de_Sturm-Liouville -
Merci pour la réponse.
Sinon il n'y a pas d'erreur à part que j'avais oublié d'ajouter les conditions aux limites.
Dans la correction on me suggère de poser $x=\sin(t)$ (pourquoi sin ?), donc on a $y(x)=y(\sin (t))=z(t)$
$z'(t)=\cos(t)y'(\sin (t))$
$z''(t)=\cos^2(t)y''(\sin(t)) - \sin(t)y'(\sin(t))$
Hop !!! l'équation différentielle devient donc $z'' +9z=0$ ??? comment il obtient ce résultat ?
Merci encore. -
supp
-
Bonjour,
Cherche les solutions sous la forme $y(z(t))$ et trouve une équation diff. pour $z$... -
supp
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Bonjour!
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