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Oral ENS Ulm, 36 planches

Envoyé par etanche 
Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Bonjour ,

Dans le lien ci-dessous il y a un fichier avec 36 planches d'oraux maths

ENS Ulm 2019 , vers la fin du fichiers il y a même les indications

[www.ens.fr]

Le fichier est en accès libre , je l'ai trouvé sur prépas.org.

Les planches sont très bien faites.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 28 exercice 2

Pouvez-vous me dire si ma solution de cet exerciçe est juste.Merci.

A,B commutent donc simultanément trigonalisable , leurs valeurs propres dans C sont dans l'ensemble
des racines $z^{2019}=1$ vu que tr(AB)=2019 nécessairement Sp(À)=Sp(B)={1}
Donc tr(À)=tr(B)=2019



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Non, ton spectre est abusif. Mais tu n'es pas très loin de la solution.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Siméon.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 33 exercice 2

Il me semble que cet exercice est passé sur le forum

Quelqu'un peut-il le rétrouver ? merci
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 9 exercice 2

En retraduisant l'inégalité avec la tr(A) et (tr(A))^2 , et avec tr(A^2)=tr(A.tA)

Planche 13 exercice 2

la limite est 1


Planche 12 exercice 2

La limite est exp(1/e)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Une idée pour le deuxième exercice de la planche $12$ ? $$

\lim_{x\to+\infty} \Big(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n\Big)^{\frac{1}{x}} .

$$ Je suis passé au $\ln$ mais réflexion faîte il vaudrait peut-être mieux passer à l'$\exp$ !



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 2 exercice 1

Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc det(A)=det(B)=0
même tous les coefficients de q sont nuls

Est-ce que ça aide pour l'équivalence ? Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Le premier exercice de la planche 17 m'a immédiatement fait penser à un article de J.P Allouche publié dans le Monthly il y a quelques mois.

Après vérification,il s'agit de :
Two Binomial Identities of Ruehr Revisited
J.-P. Allouche
The American Mathematical Monthly
vol 129, issue 3, 2019
pages: 217-225

et la conclusion est que l'énoncé donné sur la planche est faux ...
Il faut montrer que
$$\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}f(3x^2-2x^3)dx.$$

J.P. Allouche appelle ce résultat le théorème de Kimura–Ruehr (une recherche sur ces noms vous donnera l'article de J.P. Allouche et pas mal d'autres choses)



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Eric.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 29, exercice 2

Cet exercice se trouve dans mon bouquin, exercice XVIII.8.

Il se trouve aussi (exercice 6.6.6) dans L.C. Larson, Problem-Solving Through Problems.

Source originale : Peter Orno, exercice 1053, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 4 (Sep., 1978), p. 245
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@ Éric celle de la planche 17 est correcte c'est la seconde identité de Kimura , celle que tu as posté est la première
identité de Kimura voir ici

[math.ucsd.edu]

Merci à Éric pour les références



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
JLT
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Citation
totem
Une idée pour le deuxième exercice de la planche $12$ ? $$
\lim_{x\to+\infty}\Big(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n\Big)^{\frac{1}{x}} .$$

Je trouve $e^{1/e}$ en encadrant $\frac{1}{n^n}$ entre $\dfrac{e^{-n}}{n!}$ et $\dfrac{e^{-n}}{(n-1)!}$.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Peut-on rappeler les références du livre d'Eric ? Merci.
JLT
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Citation
etanche
Planche 2 exercice 1
Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc A et B sont nilpotentes

Non, cela n'implique pas que $A$ et $B$ soient nilpotentes.

Une idée : se placer en un point $x_0$ tel que le rang $A+x_0B$ soit maximal. Quitte à remplacer $A$ par $A+x_0B$ on peut supposer que $x_0=0$. Alors $A$ n'est pas inversible... (Edit : pas sûr que l'idée marche...)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par JLT.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@Chaurien : [www.amazon.fr]
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@JLT: Ok merci ça marche bien en effet. Par contre comment prouves-tu cet encadrement au juste ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par totem.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@JLT j'ai corrigé merci
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Parmi ces terrifiants problèmes, je vais prendre modestement l'exercice additionnel de la planche 5. Bien sûr il y a des sous-groupes de $(\mathbb Q,+)$ non monogènes : prendre les sous-anneaux, par exemple les nombres décimaux. Mais bon, c'est facile.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Planche 30 exercice 2 : (j'y faisais plus ou moins allusion dans un autre fil)

On définit $f_n^+$ par $f_n^+(x) = \sup_{y\in [k/n;(k+1)[} f(y)$ si $x\in [k/n; (k+1)/n[$ et de la même façon $f_n^-(x) = \inf_{y\in [k/n;(k+1)[}f(y) $.
On a alors
\[
\int_0^1 f_n^-(t) dt \int_0^1 g(t) dt = \int_0^1 f_n^-(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f_n^+(t) g(nt) dt = \int_0^1 f_n^+(t) dt \int_0^1 g(t) dt
\]
et puisque $f$ est absolument continue on a \[\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^+(t) dt =\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^-(t) dt = \int_0^1 f(t) dt.\] Au final on a bien
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f(t) g(nt) dt = \int_0^1 f(t) dt \int_0^1 g(t) dt.
\]


Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ?
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
C'est surprenant, j'ai l'impression que ces exercices sont pour beaucoup nettement plus faciles que quand j'étais en prépa. Celui que Corto vient de corriger par exemple, je me rappelle l'avoir eu en colle en sup. Est-ce un effet de l'âge qui brouille mes souvenirs ou une évolution réelle ?

Citation
Corto
Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ?

Je te le confirme.

P.S. Pour la planche 1 je m'attendais à un joli résultat mais je trouve (en blanc) $\dfrac{3\sqrt 5 - 5}{4}$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Siméon.
JLT
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
@totem : soit $f(x)=\ln x$. On somme $f(k)\leqslant \int_k^{k+1} f(x)\,dx\leqslant f(k+1)$ pour $k=1,\ldots, n-1$ et on exponentie.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Tu es sûr Siméon ? Je trouve $\frac{3}{4} \left(3 - \sqrt{5}\right)$. Ils font les chaines de Markov en prépa ? Ou peut-être qu'il y a un moyen "élémentaire" ? ahh je vois avec des marches aléatoires peut-être.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Siméon : il s'agit d'un deuxième exercice, d'après le préambule c'est lorsqu'il reste 10/15 minutes au candidat, il faut donc que ce soit assez facile (en tout cas assez rapide à résoudre).

Et merci pour la confirmation, j'ai l'impression qu'il y quelques coquilles dans les énoncés.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@simeon j'ai l'impression c'est un mélange il y a des exos faciles , moyens , difficiles

l'exo 2 de la planche 12 est un exos de AMM American Mathematical Monthly c'est le 11982
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@JLT: merci ok une "bête" comparaison série/intégrale...par contre j'ai un facteur $e^{-1}$ qui apparaît dans le membre du milieu,comment tu t'en débarrasses ?

Pour le membre de gauche ce n'est pas un problème puisque : $$\frac {e^{-n}}{n!} < e \frac {e^{-n}}{n!} $$ , mais pour le membre de droite ça pose problème ? confused smiley

Mais bon...ça ne change rien au résultat final !



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par totem.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
@Krokop : il me semble que tu as calculé la probabilité complémentaire (en tout cas la somme de nos résultats vaut 1). Je ne crois pas que les chaînes de Markov soient au programme de MP, surtout sur un espace infini. Mais la « propriété de Markov » utile ici est de toute façon élémentaire pour une marche aléatoire. En revanche, le point de vue markovien joue un rôle plus important dans la planche 10, exercice 1.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Effectivement j'ai oublié de faire 1-P, merci.. Ah je n'avais pas vu cet exercice, beaucoup d'exercices de probabilités en tout cas, Igor Kortchemski au volant !!
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Oh ! C'est marrant, le n°15 était mon oral.
JLT
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
@totem : oui c'est vrai j'ai oublié un facteur $e$, mais comme tu dis ça ne change rien à la démonstration.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
Pour le premier, la probabilité de ne pas s'arrêter est $\frac{-5+3\sqrt{5}}4$.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@JLT: d'accord.
Peut-on en déduire que $$ \sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n \sim_{+\infty} e^{\frac{x}{e}} \quad? $$

Elle a un nom cette série entière au juste ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par totem.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Bonjour,

Planche 15
Exercice 1
Réponse négative en considerant la suite $a_k=0$ si $k$ n'est pas un carré, $=k^{3/4}$ si $k$ est un carré

Exercice 2
$\forall k, X^{2^k}A-AX^{2^k}=2^kX^{2^k+p-1}$
Je ne vois pas comment conclure sans que cela devienne un exercice d'analyse ( par exemple en prenant la trace et en faisant une étude asymptotique)

Un argument d'algèbre ???
D'avance merci



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@totem

Non on n'a pas cet équivalent
j'ai obtenu $\sum_{n\ge x/e} (x/n)^{n} \sim (\pi x/2)^{1/2}\exp(x/e-1)$ (comparaison avec une intégrale, changement de variable, méthode de Laplace) donc on aurait $\exp(x/e)=o (cette ~somme)$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Pour planche 15 exercice 1

Pistes:
A et X sont cotrigonalisables
A ici est diagonalisable
On peut supposer A est une matrice diagonale et X une triangulaire
on met dans l'équation on doit pouvoir montrer si X n'est pas nul il y a une contradiction en
comparant quelques coefficients
Il n'y a que X=0 qui est solution



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 11 exercice 1

[math.stackexchange.com]

Remarque : pour $R^3$ c'est vrai

Il me semble que l'étude de partionner $R^2$ , $R^3$ par des cercles
avait posé dans un sujet de concours il y a quelques années agrégation externe/interne ou capes

Si quelqu'un retrouve le sujet merci de poster.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@side: OK merci . Le $\pi$ vient d'où ?
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@totem
D'une intégrale de $\int_{0}^{+\infty} \exp(-u^2)du$ quand on déroule la méthode de Laplace.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
avatar
@side, dans l'exercice 1 de la 15e planche, les $a_k$ doivent être non nuls...
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Merci Calli j'avais loupé cette hypothèse.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@side: ok, j'ai aussi fait comparaison série / intégrale, par contre tu fais quoi comme changement de variable pour intégrer $f_{x}(t)=(\frac {x}{t})^t $ ?
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@totem $u=x/t$
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Pour revenir sur les identités de Kimura, c'est le problème E2765, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 3, 1979, p. 233.

Je joins la solution proposée par Ruehr.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Kimura.pdf (330.5 KB)
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
J'ai repris l'exercice 1 planche 15

On montre que la série $\sum_k 1/a_k<+\infty$ ssi $\sum_p (A(p+1)-A(p))/p <+\infty $ (1)

On trouve alors comme condition nécessaire $A(n) /n$ tend vers $0$ avec $n$ ($\sum_k 1/a_k=\sum_p \sum_{k\in E_p} 1/a_k, E_p=\{k | p<a_k\le p+1\} $, en encadrant, en utilisant les résultats des séries à termes positifs, puis simplification de l'écriture (1)) et comme $A$ est croissante, et en encadrant $x$ par sa partie entière et sa partie entière $+1$ on a alors $A(x)/x$ tend vers 0 avec $x$.

Si $A(x)/x$ tend vers $0$, la série converge ssi (1) ssi $\sum_p A(p)/p^2<+\infty$

S'il est possible de choisir $A(p)/p=\ln (p+1)$ ou un exemple proche, on aurait un contre--exemple à l'équivalence.

On essaie $a_k=k\ln (k+1)$, ainsi la série $\sum 1/a_k$ diverge. La suite $(a_k) $ est croissante et la fonction $f(x)=x\ln(x+1)$ est strictement croissante.
On a $\forall a >0, f(ax/\ln x) \sim ax$ et donc $\forall \epsilon >0$ pour $x$ assez grand on a $1-\epsilon <\frac{A(x) \ln x}{x} <1+\epsilon$ puis $A(x) \sim x/\ln x$ et donc $A(x)/x$ tend vers $0$.



Compte-tenu de la question posée, il est inutile de dérouler toutes ces étapes.
On part directement avec la suite $k\ln(k+1)=a_k$ pour montrer que l'équivalence est fausse.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@side : OK.

J'obtiens : $$f_{x} (u) = x \int_0^{+\infty} \frac{u^{\frac{x}{u}}}{u^2}du $$

Après convergence dominée (pas facile facile) , mais point de gaussienne à l'horizon...c'est là qu'arrive la méthode de Laplace ?
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 11, exercice 1, question supplémentaire : voir le théorème de Moore (1928) sur le sujet, par exemple là
[www.ams.org]

Pierre.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
@totem
Je n'ai pas dit que j'avais traité le série par la méthode de Laplace mais uniquement la somme $\sum_{n\ge x/e} (x/n)^n$
La fonction $f_x(t)=(x/t)^t$ décroît sur $[x/e;+\infty[$
Puis on compare à une intégrale, changement de variable $u=x/t$ puis on se ramène à étudier $x\int_{0}^{e}\exp(x\frac{\ln u}{u})du/u^2$ et le maximum de l'argument de l'exponentielle est atteint en $u=e$ et on déroule la méthode de Laplace.


Pour $\sum_{n<x/e} (x/n)^n$, $f_x$ croit sur l'intervalle correspondant, une minoration par le dernier terme et une majoration par le nombre de termes fois le dernier terme donne un encadrement grossier qui suffit pour traiter l'exercice.

JLT a donné des indications pour une méthode nettement plus simple !!!



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 32 exercice 2

Voir ici il a été posé à SEEMOUS 2019 problem 3

[math.stackexchange.com]


et ici


[artofproblemsolving.com]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 20 exercice 2

Voir ici il a été posé à Indonesia IMC TST 2012

[artofproblemsolving.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Planche 13 exercice 2

Voir ici

[artofproblemsolving.com]


--------------------

Planche 18 exercice 1

Voir ici ça été posé à IMC 2016 problem 5

[artofproblemsolving.com]

-----

Planche 4 exercice additionnel

C'est un Putnam 2018 B2

[artofproblemsolving.com]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Pouvez-vous vérifier l'exercice 2 de la planche 22

Est-ce qu'il ne manque pas un y(t) dans l'équation différentielle y'(t)= a(t)+b(t) ?

merci



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