Oral ENS Ulm, 36 planches
Bonjour ,
Dans le lien ci-dessous il y a un fichier avec 36 planches d'oraux maths
ENS Ulm 2019 , vers la fin du fichiers il y a même les indications
https://www.ens.fr/sites/default/files/2019_mathsulm_sujets-1.pdf
Le fichier est en accès libre , je l'ai trouvé sur prépas.org.
Les planches sont très bien faites.
Dans le lien ci-dessous il y a un fichier avec 36 planches d'oraux maths
ENS Ulm 2019 , vers la fin du fichiers il y a même les indications
https://www.ens.fr/sites/default/files/2019_mathsulm_sujets-1.pdf
Le fichier est en accès libre , je l'ai trouvé sur prépas.org.
Les planches sont très bien faites.
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Réponses
Pouvez-vous me dire si ma solution de cet exerciçe est juste.Merci.
A,B commutent donc simultanément trigonalisable , leurs valeurs propres dans C sont dans l'ensemble
des racines $z^{2019}=1$ vu que tr(AB)=2019 nécessairement Sp(À)=Sp(B)={1}
Donc tr(À)=tr(B)=2019
Il me semble que cet exercice est passé sur le forum
Quelqu'un peut-il le rétrouver ? merci
En retraduisant l'inégalité avec la tr(A) et (tr(A))^2 , et avec tr(A^2)=tr(A.tA)
Planche 13 exercice 2
la limite est 1
Planche 12 exercice 2
La limite est exp(1/e)
\lim_{x\to+\infty} \Big(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n\Big)^{\frac{1}{x}} .
$$ Je suis passé au $\ln$ mais réflexion faîte il vaudrait peut-être mieux passer à l'$\exp$ !
Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc det(A)=det(B)=0
même tous les coefficients de q sont nuls
Est-ce que ça aide pour l'équivalence ? Merci.
Après vérification,il s'agit de :
Two Binomial Identities of Ruehr Revisited
J.-P. Allouche
The American Mathematical Monthly
vol 129, issue 3, 2019
pages: 217-225
et la conclusion est que l'énoncé donné sur la planche est faux ...
Il faut montrer que
$$\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}f(3x^2-2x^3)dx.$$
J.P. Allouche appelle ce résultat le théorème de Kimura–Ruehr (une recherche sur ces noms vous donnera l'article de J.P. Allouche et pas mal d'autres choses)
Cet exercice se trouve dans mon bouquin, exercice XVIII.8.
Il se trouve aussi (exercice 6.6.6) dans L.C. Larson, Problem-Solving Through Problems.
Source originale : Peter Orno, exercice 1053, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 4 (Sep., 1978), p. 245
identité de Kimura voir ici
http://math.ucsd.edu/~pfitz/downloads/kimuraruehr.pdf
Merci à Éric pour les références
Je trouve $e^{1/e}$ en encadrant $\frac{1}{n^n}$ entre $\dfrac{e^{-n}}{n!}$ et $\dfrac{e^{-n}}{(n-1)!}$.
Non, cela n'implique pas que $A$ et $B$ soient nilpotentes.
Une idée : se placer en un point $x_0$ tel que le rang $A+x_0B$ soit maximal. Quitte à remplacer $A$ par $A+x_0B$ on peut supposer que $x_0=0$. Alors $A$ n'est pas inversible... (Edit : pas sûr que l'idée marche...)
http://www.mathcounterexamples.net/an-infinite-group-whose-proper-subgroups-are-all-finite/
On définit $f_n^+$ par $f_n^+(x) = \sup_{y\in [k/n;(k+1)[} f(y)$ si $x\in [k/n; (k+1)/n[$ et de la même façon $f_n^-(x) = \inf_{y\in [k/n;(k+1)[}f(y) $.
On a alors
\[
\int_0^1 f_n^-(t) dt \int_0^1 g(t) dt = \int_0^1 f_n^-(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f_n^+(t) g(nt) dt = \int_0^1 f_n^+(t) dt \int_0^1 g(t) dt
\]
et puisque $f$ est absolument continue on a \[\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^+(t) dt =\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^-(t) dt = \int_0^1 f(t) dt.\] Au final on a bien
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f(t) g(nt) dt = \int_0^1 f(t) dt \int_0^1 g(t) dt.
\]
Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ?
Je te le confirme.
P.S. Pour la planche 1 je m'attendais à un joli résultat mais je trouve (en blanc) $\dfrac{3\sqrt 5 - 5}{4}$.
Et merci pour la confirmation, j'ai l'impression qu'il y quelques coquilles dans les énoncés.
l'exo 2 de la planche 12 est un exos de AMM American Mathematical Monthly c'est le 11982
Pour le membre de gauche ce n'est pas un problème puisque : $$\frac {e^{-n}}{n!} < e \frac {e^{-n}}{n!} $$ , mais pour le membre de droite ça pose problème ? :-S
Mais bon...ça ne change rien au résultat final !
Peut-on en déduire que $$ \sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n \sim_{+\infty} e^{\frac{x}{e}} \quad? $$
Elle a un nom cette série entière au juste ?
Pistes:
A et X sont cotrigonalisables
A ici est diagonalisable
On peut supposer A est une matrice diagonale et X une triangulaire
on met dans l'équation on doit pouvoir montrer si X n'est pas nul il y a une contradiction en
comparant quelques coefficients
Il n'y a que X=0 qui est solution
https://math.stackexchange.com/questions/3155009/reference-euclidean-plane-is-not-union-of-disjoint-circles
Remarque : pour $R^3$ c'est vrai
Il me semble que l'étude de partionner $R^2$ , $R^3$ par des cercles
avait posé dans un sujet de concours il y a quelques années agrégation externe/interne ou capes
Si quelqu'un retrouve le sujet merci de poster.
Je joins la solution proposée par Ruehr.
J'obtiens : $$f_{x} (u) = x \int_0^{+\infty} \frac{u^{\frac{x}{u}}}{u^2}du $$
Après convergence dominée (pas facile facile) , mais point de gaussienne à l'horizon...c'est là qu'arrive la méthode de Laplace ?
https://www.ams.org/journals/proc/1970-025-04/S0002-9939-1970-0263049-9/S0002-9939-1970-0263049-9.pdf
Pierre.
Voir ici il a été posé à SEEMOUS 2019 problem 3
https://math.stackexchange.com/questions/3186305/matrix-problem-similar-to-seemous-2019-3/3213543
et ici
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1804333_ranks_of_matrices
Voir ici il a été posé à Indonesia IMC TST 2012
https://artofproblemsolving.com/community/c7t290f7h1851546_two_equal_matrices_satisfying_2n_equations
Voir ici
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1122152p5168096
Planche 18 exercice 1
Voir ici ça été posé à IMC 2016 problem 5
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1279186p6722167
Planche 4 exercice additionnel
C'est un Putnam 2018 B2
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1747716p11382956
Est-ce qu'il ne manque pas un y(t) dans l'équation différentielle y'(t)= a(t)+b(t) ?
merci
Je pensais que "tout élever à la puissance $x$" suffisait, mais c'est là que tu es intervenu. :-)