Oral ENS Ulm, 36 planches
Bonjour ,
Dans le lien ci-dessous il y a un fichier avec 36 planches d'oraux maths
ENS Ulm 2019 , vers la fin du fichiers il y a même les indications
https://www.ens.fr/sites/default/files/2019_mathsulm_sujets-1.pdf
Le fichier est en accès libre , je l'ai trouvé sur prépas.org.
Les planches sont très bien faites.
Dans le lien ci-dessous il y a un fichier avec 36 planches d'oraux maths
ENS Ulm 2019 , vers la fin du fichiers il y a même les indications
https://www.ens.fr/sites/default/files/2019_mathsulm_sujets-1.pdf
Le fichier est en accès libre , je l'ai trouvé sur prépas.org.
Les planches sont très bien faites.
Réponses
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Planche 28 exercice 2
Pouvez-vous me dire si ma solution de cet exerciçe est juste.Merci.
A,B commutent donc simultanément trigonalisable , leurs valeurs propres dans C sont dans l'ensemble
des racines $z^{2019}=1$ vu que tr(AB)=2019 nécessairement Sp(À)=Sp(B)={1}
Donc tr(À)=tr(B)=2019 -
Non, ton spectre est abusif. Mais tu n'es pas très loin de la solution.
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Planche 33 exercice 2
Il me semble que cet exercice est passé sur le forum
Quelqu'un peut-il le rétrouver ? merci -
Planche 9 exercice 2
En retraduisant l'inégalité avec la tr(A) et (tr(A))^2 , et avec tr(A^2)=tr(A.tA)
Planche 13 exercice 2
la limite est 1
Planche 12 exercice 2
La limite est exp(1/e) -
Une idée pour le deuxième exercice de la planche $12$ ? $$
\lim_{x\to+\infty} \Big(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n\Big)^{\frac{1}{x}} .
$$ Je suis passé au $\ln$ mais réflexion faîte il vaudrait peut-être mieux passer à l'$\exp$ ! -
Planche 2 exercice 1
Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc det(A)=det(B)=0
même tous les coefficients de q sont nuls
Est-ce que ça aide pour l'équivalence ? Merci. -
Le premier exercice de la planche 17 m'a immédiatement fait penser à un article de J.P Allouche publié dans le Monthly il y a quelques mois.
Après vérification,il s'agit de :
Two Binomial Identities of Ruehr Revisited
J.-P. Allouche
The American Mathematical Monthly
vol 129, issue 3, 2019
pages: 217-225
et la conclusion est que l'énoncé donné sur la planche est faux ...
Il faut montrer que
$$\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}f(3x^2-2x^3)dx.$$
J.P. Allouche appelle ce résultat le théorème de Kimura–Ruehr (une recherche sur ces noms vous donnera l'article de J.P. Allouche et pas mal d'autres choses) -
Planche 29, exercice 2
Cet exercice se trouve dans mon bouquin, exercice XVIII.8.
Il se trouve aussi (exercice 6.6.6) dans L.C. Larson, Problem-Solving Through Problems.
Source originale : Peter Orno, exercice 1053, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 4 (Sep., 1978), p. 245 -
@ Éric celle de la planche 17 est correcte c'est la seconde identité de Kimura , celle que tu as posté est la première
identité de Kimura voir ici
http://math.ucsd.edu/~pfitz/downloads/kimuraruehr.pdf
Merci à Éric pour les références -
Peut-on rappeler les références du livre d'Eric ? Merci.
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etanche a écrit:Planche 2 exercice 1
Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc A et B sont nilpotentes
Non, cela n'implique pas que $A$ et $B$ soient nilpotentes.
Une idée : se placer en un point $x_0$ tel que le rang $A+x_0B$ soit maximal. Quitte à remplacer $A$ par $A+x_0B$ on peut supposer que $x_0=0$. Alors $A$ n'est pas inversible... (Edit : pas sûr que l'idée marche...) -
Parmi ces terrifiants problèmes, je vais prendre modestement l'exercice additionnel de la planche 5. Bien sûr il y a des sous-groupes de $(\mathbb Q,+)$ non monogènes : prendre les sous-anneaux, par exemple les nombres décimaux. Mais bon, c'est facile.
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Planche 30 exercice 2 : (j'y faisais plus ou moins allusion dans un autre fil)
On définit $f_n^+$ par $f_n^+(x) = \sup_{y\in [k/n;(k+1)[} f(y)$ si $x\in [k/n; (k+1)/n[$ et de la même façon $f_n^-(x) = \inf_{y\in [k/n;(k+1)[}f(y) $.
On a alors
\[
\int_0^1 f_n^-(t) dt \int_0^1 g(t) dt = \int_0^1 f_n^-(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f_n^+(t) g(nt) dt = \int_0^1 f_n^+(t) dt \int_0^1 g(t) dt
\]
et puisque $f$ est absolument continue on a \[\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^+(t) dt =\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^-(t) dt = \int_0^1 f(t) dt.\] Au final on a bien
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f(t) g(nt) dt = \int_0^1 f(t) dt \int_0^1 g(t) dt.
\]
Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ? -
C'est surprenant, j'ai l'impression que ces exercices sont pour beaucoup nettement plus faciles que quand j'étais en prépa. Celui que Corto vient de corriger par exemple, je me rappelle l'avoir eu en colle en sup. Est-ce un effet de l'âge qui brouille mes souvenirs ou une évolution réelle ?Corto a écrit:Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ?
Je te le confirme.
P.S. Pour la planche 1 je m'attendais à un joli résultat mais je trouve (en blanc) $\dfrac{3\sqrt 5 - 5}{4}$. -
Tu es sûr Siméon ? Je trouve $\frac{3}{4} \left(3 - \sqrt{5}\right)$. Ils font les chaines de Markov en prépa ? Ou peut-être qu'il y a un moyen "élémentaire" ? ahh je vois avec des marches aléatoires peut-être.
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Siméon : il s'agit d'un deuxième exercice, d'après le préambule c'est lorsqu'il reste 10/15 minutes au candidat, il faut donc que ce soit assez facile (en tout cas assez rapide à résoudre).
Et merci pour la confirmation, j'ai l'impression qu'il y quelques coquilles dans les énoncés. -
@JLT: merci ok une "bête" comparaison série/intégrale...par contre j'ai un facteur $e^{-1}$ qui apparaît dans le membre du milieu,comment tu t'en débarrasses ?
Pour le membre de gauche ce n'est pas un problème puisque : $$\frac {e^{-n}}{n!} < e \frac {e^{-n}}{n!} $$ , mais pour le membre de droite ça pose problème ? :-S
Mais bon...ça ne change rien au résultat final ! -
@Krokop : il me semble que tu as calculé la probabilité complémentaire (en tout cas la somme de nos résultats vaut 1). Je ne crois pas que les chaînes de Markov soient au programme de MP, surtout sur un espace infini. Mais la « propriété de Markov » utile ici est de toute façon élémentaire pour une marche aléatoire. En revanche, le point de vue markovien joue un rôle plus important dans la planche 10, exercice 1.
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Effectivement j'ai oublié de faire 1-P, merci.. Ah je n'avais pas vu cet exercice, beaucoup d'exercices de probabilités en tout cas, Igor Kortchemski au volant !!
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Oh ! C'est marrant, le n°15 était mon oral.
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Pour le premier, la probabilité de ne pas s'arrêter est $\frac{-5+3\sqrt{5}}4$.
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supp
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supp
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Pour planche 15 exercice 1
Pistes:
A et X sont cotrigonalisables
A ici est diagonalisable
On peut supposer A est une matrice diagonale et X une triangulaire
on met dans l'équation on doit pouvoir montrer si X n'est pas nul il y a une contradiction en
comparant quelques coefficients
Il n'y a que X=0 qui est solution -
Planche 11 exercice 1
https://math.stackexchange.com/questions/3155009/reference-euclidean-plane-is-not-union-of-disjoint-circles
Remarque : pour $R^3$ c'est vrai
Il me semble que l'étude de partionner $R^2$ , $R^3$ par des cercles
avait posé dans un sujet de concours il y a quelques années agrégation externe/interne ou capes
Si quelqu'un retrouve le sujet merci de poster. -
supp
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Pour revenir sur les identités de Kimura, c'est le problème E2765, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 3, 1979, p. 233.
Je joins la solution proposée par Ruehr. -
supp
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Planche 11, exercice 1, question supplémentaire : voir le théorème de Moore (1928) sur le sujet, par exemple là
https://www.ams.org/journals/proc/1970-025-04/S0002-9939-1970-0263049-9/S0002-9939-1970-0263049-9.pdf
Pierre. -
supp
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Planche 32 exercice 2
Voir ici il a été posé à SEEMOUS 2019 problem 3
https://math.stackexchange.com/questions/3186305/matrix-problem-similar-to-seemous-2019-3/3213543
et ici
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1804333_ranks_of_matrices -
Planche 20 exercice 2
Voir ici il a été posé à Indonesia IMC TST 2012
https://artofproblemsolving.com/community/c7t290f7h1851546_two_equal_matrices_satisfying_2n_equations -
Planche 13 exercice 2
Voir ici
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1122152p5168096
Planche 18 exercice 1
Voir ici ça été posé à IMC 2016 problem 5
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1279186p6722167
Planche 4 exercice additionnel
C'est un Putnam 2018 B2
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1747716p11382956 -
Pouvez-vous vérifier l'exercice 2 de la planche 22
Est-ce qu'il ne manque pas un y(t) dans l'équation différentielle y'(t)= a(t)+b(t) ?
merci
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