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Oral ENS Ulm, 36 planches

etancheetanche
dans Analyse
Bonjour ,

Dans le lien ci-dessous il y a un fichier avec 36 planches d'oraux maths

ENS Ulm 2019 , vers la fin du fichiers il y a même les indications

https://www.ens.fr/sites/default/files/2019_mathsulm_sujets-1.pdf

Le fichier est en accès libre , je l'ai trouvé sur prépas.org.

Les planches sont très bien faites.
«1345

Réponses

  • etancheetanche
    Planche 28 exercice 2

    Pouvez-vous me dire si ma solution de cet exerciçe est juste.Merci.

    A,B commutent donc simultanément trigonalisable , leurs valeurs propres dans C sont dans l'ensemble
    des racines $z^{2019}=1$ vu que tr(AB)=2019 nécessairement Sp(À)=Sp(B)={1}
    Donc tr(À)=tr(B)=2019
  • SiméonSiméon
    Non, ton spectre est abusif. Mais tu n'es pas très loin de la solution.
  • etancheetanche
    Planche 33 exercice 2

    Il me semble que cet exercice est passé sur le forum

    Quelqu'un peut-il le rétrouver ? merci
  • etancheetanche
    Planche 9 exercice 2

    En retraduisant l'inégalité avec la tr(A) et (tr(A))^2 , et avec tr(A^2)=tr(A.tA)

    Planche 13 exercice 2

    la limite est 1


    Planche 12 exercice 2

    La limite est exp(1/e)
  • totemtotem
    Une idée pour le deuxième exercice de la planche $12$ ? $$

    \lim_{x\to+\infty} \Big(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n\Big)^{\frac{1}{x}} .

    $$ Je suis passé au $\ln$ mais réflexion faîte il vaudrait peut-être mieux passer à l'$\exp$ !
  • etancheetanche
    Planche 2 exercice 1

    Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc det(A)=det(B)=0
    même tous les coefficients de q sont nuls

    Est-ce que ça aide pour l'équivalence ? Merci.
  • EricEric
    Le premier exercice de la planche 17 m'a immédiatement fait penser à un article de J.P Allouche publié dans le Monthly il y a quelques mois.

    Après vérification,il s'agit de :
    Two Binomial Identities of Ruehr Revisited
    J.-P. Allouche
    The American Mathematical Monthly
    vol 129, issue 3, 2019
    pages: 217-225

    et la conclusion est que l'énoncé donné sur la planche est faux ...
    Il faut montrer que
    $$\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}f(3x^2-2x^3)dx.$$

    J.P. Allouche appelle ce résultat le théorème de Kimura–Ruehr (une recherche sur ces noms vous donnera l'article de J.P. Allouche et pas mal d'autres choses)
  • EricEric
    Planche 29, exercice 2

    Cet exercice se trouve dans mon bouquin, exercice XVIII.8.

    Il se trouve aussi (exercice 6.6.6) dans L.C. Larson, Problem-Solving Through Problems.

    Source originale : Peter Orno, exercice 1053, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 4 (Sep., 1978), p. 245
  • etancheetanche
    @ Éric celle de la planche 17 est correcte c'est la seconde identité de Kimura , celle que tu as posté est la première
    identité de Kimura voir ici

    http://math.ucsd.edu/~pfitz/downloads/kimuraruehr.pdf

    Merci à Éric pour les références
  • JLTJLT
    totem a écrit:
    Une idée pour le deuxième exercice de la planche $12$ ? $$
    \lim_{x\to+\infty}\Big(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n\Big)^{\frac{1}{x}} .$$

    Je trouve $e^{1/e}$ en encadrant $\frac{1}{n^n}$ entre $\dfrac{e^{-n}}{n!}$ et $\dfrac{e^{-n}}{(n-1)!}$.
  • ChaurienChaurien
    Peut-on rappeler les références du livre d'Eric ? Merci.
  • JLTJLT
    etanche a écrit:
    Planche 2 exercice 1
    Le polynôme q(X)=det(A+xB) est identiquement nul donc A et B sont nilpotentes

    Non, cela n'implique pas que $A$ et $B$ soient nilpotentes.

    Une idée : se placer en un point $x_0$ tel que le rang $A+x_0B$ soit maximal. Quitte à remplacer $A$ par $A+x_0B$ on peut supposer que $x_0=0$. Alors $A$ n'est pas inversible... (Edit : pas sûr que l'idée marche...)
  • PoirotPoirot
    @Chaurien : https://www.amazon.fr/Une-année-colles-Math-MPSI/dp/2916352244
  • totemtotem
    @JLT: Ok merci ça marche bien en effet. Par contre comment prouves-tu cet encadrement au juste ?
  • etancheetanche
    @JLT j'ai corrigé merci
  • ChaurienChaurien
    Parmi ces terrifiants problèmes, je vais prendre modestement l'exercice additionnel de la planche 5. Bien sûr il y a des sous-groupes de $(\mathbb Q,+)$ non monogènes : prendre les sous-anneaux, par exemple les nombres décimaux. Mais bon, c'est facile.
  • etancheetanche
    Planche 6 exercice 2

    http://www.mathcounterexamples.net/an-infinite-group-whose-proper-subgroups-are-all-finite/
  • CortoCorto
    Planche 30 exercice 2 : (j'y faisais plus ou moins allusion dans un autre fil)

    On définit $f_n^+$ par $f_n^+(x) = \sup_{y\in [k/n;(k+1)[} f(y)$ si $x\in [k/n; (k+1)/n[$ et de la même façon $f_n^-(x) = \inf_{y\in [k/n;(k+1)[}f(y) $.
    On a alors
    \[
    \int_0^1 f_n^-(t) dt \int_0^1 g(t) dt = \int_0^1 f_n^-(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f(t) g(nt) dt \leq \int_0^1 f_n^+(t) g(nt) dt = \int_0^1 f_n^+(t) dt \int_0^1 g(t) dt
    \]
    et puisque $f$ est absolument continue on a \[\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^+(t) dt =\lim_{n\to \infty} \int_0^1 f_n^-(t) dt = \int_0^1 f(t) dt.\] Au final on a bien
    \[
    \lim_{n\to \infty}\int_0^1 f(t) g(nt) dt = \int_0^1 f(t) dt \int_0^1 g(t) dt.
    \]


    Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ?
  • SiméonSiméon
    C'est surprenant, j'ai l'impression que ces exercices sont pour beaucoup nettement plus faciles que quand j'étais en prépa. Celui que Corto vient de corriger par exemple, je me rappelle l'avoir eu en colle en sup. Est-ce un effet de l'âge qui brouille mes souvenirs ou une évolution réelle ?
    Corto a écrit:
    Pour la planche 33 exercice 2, quelqu'un pourrait-il me dire si il n'y a vraiment pas besoin de supposer les $f_i$ continues ?

    Je te le confirme.

    P.S. Pour la planche 1 je m'attendais à un joli résultat mais je trouve (en blanc) $\dfrac{3\sqrt 5 - 5}{4}$.
  • JLTJLT
    @totem : soit $f(x)=\ln x$. On somme $f(k)\leqslant \int_k^{k+1} f(x)\,dx\leqslant f(k+1)$ pour $k=1,\ldots, n-1$ et on exponentie.
  • KrokopKrokop
    Tu es sûr Siméon ? Je trouve $\frac{3}{4} \left(3 - \sqrt{5}\right)$. Ils font les chaines de Markov en prépa ? Ou peut-être qu'il y a un moyen "élémentaire" ? ahh je vois avec des marches aléatoires peut-être.
  • CortoCorto
    Siméon : il s'agit d'un deuxième exercice, d'après le préambule c'est lorsqu'il reste 10/15 minutes au candidat, il faut donc que ce soit assez facile (en tout cas assez rapide à résoudre).

    Et merci pour la confirmation, j'ai l'impression qu'il y quelques coquilles dans les énoncés.
  • etancheetanche
    @simeon j'ai l'impression c'est un mélange il y a des exos faciles , moyens , difficiles

    l'exo 2 de la planche 12 est un exos de AMM American Mathematical Monthly c'est le 11982
  • totemtotem
    @JLT: merci ok une "bête" comparaison série/intégrale...par contre j'ai un facteur $e^{-1}$ qui apparaît dans le membre du milieu,comment tu t'en débarrasses ?

    Pour le membre de gauche ce n'est pas un problème puisque : $$\frac {e^{-n}}{n!} < e \frac {e^{-n}}{n!} $$ , mais pour le membre de droite ça pose problème ? :-S

    Mais bon...ça ne change rien au résultat final !
  • SiméonSiméon
    @Krokop : il me semble que tu as calculé la probabilité complémentaire (en tout cas la somme de nos résultats vaut 1). Je ne crois pas que les chaînes de Markov soient au programme de MP, surtout sur un espace infini. Mais la « propriété de Markov » utile ici est de toute façon élémentaire pour une marche aléatoire. En revanche, le point de vue markovien joue un rôle plus important dans la planche 10, exercice 1.
  • KrokopKrokop
    Effectivement j'ai oublié de faire 1-P, merci.. Ah je n'avais pas vu cet exercice, beaucoup d'exercices de probabilités en tout cas, Igor Kortchemski au volant !!
  • CalliCalli
    Oh ! C'est marrant, le n°15 était mon oral.
  • JLTJLT
    @totem : oui c'est vrai j'ai oublié un facteur $e$, mais comme tu dis ça ne change rien à la démonstration.
  • aléaaléa
    Pour le premier, la probabilité de ne pas s'arrêter est $\frac{-5+3\sqrt{5}}4$.
  • totemtotem
    @JLT: d'accord.
    Peut-on en déduire que $$ \sum_{n=1}^{\infty}\big(\frac{x}{n}\big)^n \sim_{+\infty} e^{\frac{x}{e}} \quad? $$

    Elle a un nom cette série entière au juste ?
  • sideside
    supp
  • sideside
    supp
  • etancheetanche
    Pour planche 15 exercice 1

    Pistes:
    A et X sont cotrigonalisables
    A ici est diagonalisable
    On peut supposer A est une matrice diagonale et X une triangulaire
    on met dans l'équation on doit pouvoir montrer si X n'est pas nul il y a une contradiction en
    comparant quelques coefficients
    Il n'y a que X=0 qui est solution
  • etancheetanche
    Planche 11 exercice 1

    https://math.stackexchange.com/questions/3155009/reference-euclidean-plane-is-not-union-of-disjoint-circles

    Remarque : pour $R^3$ c'est vrai

    Il me semble que l'étude de partionner $R^2$ , $R^3$ par des cercles
    avait posé dans un sujet de concours il y a quelques années agrégation externe/interne ou capes

    Si quelqu'un retrouve le sujet merci de poster.
  • totemtotem
    @side: OK merci . Le $\pi$ vient d'où ?
  • sideside
    supp
  • CalliCalli
    @side, dans l'exercice 1 de la 15e planche, les $a_k$ doivent être non nuls...
  • sideside
    supp
  • totemtotem
    @side: ok, j'ai aussi fait comparaison série / intégrale, par contre tu fais quoi comme changement de variable pour intégrer $f_{x}(t)=(\frac {x}{t})^t $ ?
  • sideside
    supp
  • EricEric
    Pour revenir sur les identités de Kimura, c'est le problème E2765, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 3, 1979, p. 233.

    Je joins la solution proposée par Ruehr.
  • sideside
    supp
  • totemtotem
    @side : OK.

    J'obtiens : $$f_{x} (u) = x \int_0^{+\infty} \frac{u^{\frac{x}{u}}}{u^2}du $$

    Après convergence dominée (pas facile facile) , mais point de gaussienne à l'horizon...c'est là qu'arrive la méthode de Laplace ?
  • PierreBPierreB
    Planche 11, exercice 1, question supplémentaire : voir le théorème de Moore (1928) sur le sujet, par exemple là
    https://www.ams.org/journals/proc/1970-025-04/S0002-9939-1970-0263049-9/S0002-9939-1970-0263049-9.pdf

    Pierre.
  • sideside
    supp
  • etancheetanche
    Planche 32 exercice 2

    Voir ici il a été posé à SEEMOUS 2019 problem 3

    https://math.stackexchange.com/questions/3186305/matrix-problem-similar-to-seemous-2019-3/3213543


    et ici


    https://artofproblemsolving.com/community/c7h1804333_ranks_of_matrices
  • etancheetanche
    Planche 20 exercice 2

    Voir ici il a été posé à Indonesia IMC TST 2012

    https://artofproblemsolving.com/community/c7t290f7h1851546_two_equal_matrices_satisfying_2n_equations
  • etancheetanche
    Planche 13 exercice 2

    Voir ici

    https://artofproblemsolving.com/community/c7h1122152p5168096


    Planche 18 exercice 1

    Voir ici ça été posé à IMC 2016 problem 5

    https://artofproblemsolving.com/community/c7h1279186p6722167

    Planche 4 exercice additionnel

    C'est un Putnam 2018 B2

    https://artofproblemsolving.com/community/c7h1747716p11382956
  • etancheetanche
    Pouvez-vous vérifier l'exercice 2 de la planche 22

    Est-ce qu'il ne manque pas un y(t) dans l'équation différentielle y'(t)= a(t)+b(t) ?

    merci
  • totemtotem
    @side : oui je sais j'ai vu la méthode de JLT, mais je cherchais à présent un équivalent de la série de fonctions, ce qui n'est pas demandé dans l'exercice.

    Je pensais que "tout élever à la puissance $x$" suffisait, mais c'est là que tu es intervenu. :-)
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