C'est vrai que pour parler d’équivalence $f(n)\sim g(n)$ cela suppose que $f$ et $g$ ne sont pas nuls. J'aurais donc dû rappeler que ce que je disais suppose $C\neq 1. $ Quand tu fais une division, gebrane, est-ce que tu rappelles toujours que tu supposes le dénominateur non nul ?
@P: de toutes façons quand un équivalent vaut $1$ il me semble qu'on ne peut pas composer la relation d'équivalence par $\log$...ça ferait $\sim 0$ !
Bref tout ça pour dire que side utilise une méthode dite de Laplace qui est quand même assez technique et que je ne comprends pas très bien...
Mais vous allez me dire qu'il n'est pas toujours utile de comprendre parfaitement une méthode pour résoudre un problème :-)
Concernant la planche 17, il me semble que l'hypothèse $f$ continue sur $[-\frac12,\frac32]$ doit être remplacée par $f$ continue sur $[0,1]$.
Dans cet article, l'auteur propose une stratégie de preuve des deux identités reposant sur un point de vue probabiliste et faisant aussi intervenir les relations entre coefficients et racines pour le polynôme $P_y=2X^3-3X^2+y$. Ce n'est pas clair pour moi... Si quelqu'un avait la gentillesse de détailler ...
Bonjour Etanche
L'argument est le même: en conservant les notations précédentes, les relations entre coefficients et racines donnent:
$\forall t \in [0;1],\:\:\: v_1(t)^2 + v_2(t)^2 +v_3(t)^2 =\left(\frac 32 \right)^2, \qquad v_1(t)v_1'(t) +v_2(t)v_2'(t) +v_3(t)v_3'(t) =0,$
et un changement de variable identique au précédent conduit à:
$\displaystyle 2\int_0^1x\: (f\circ u )(x)\: \mathrm dx-\int_{-\frac {1}2}^{\frac 32} x\: (f \circ u)(x)\: \mathrm dx =\int_0 ^1 \Big(v_1v_1' + v_2 v_2' +v_3v_3' \Big )(t)\: f(t) \:\mathrm d t = 0.$
Ceci est un appel aux bonnes volontés. Nous avons commencé à recueillir et rédiger avec Bobby Joe et Mickaël des solutions détaillées des 36 planches. Nous avançons bien mais, comme vous pouvez le constater avec le document en pièce jointe, le travail est loin d'être terminé ! Certains exercices ne sont pas encore rédigés et il faudra aussi tout relire, corriger, améliorer, etc. Nous ne sommes pas assez nombreux pour finir dans un temps raisonnable.
Quasiment tous les exercices ont une solution rédigée. Il reste encore à relire, corriger, améliorer, etc. J'invite tous ceux qui voudraient participer à ce projet à se manifester.
L'objectif final est de laisser ce document, ainsi que ses sources LaTeX, en libre accès en ligne. Rien n'empêche les contributeurs d'envoyer aussi leurs solutions à la RMS pour les publier (je contacterai d'ailleurs les rédacteurs pour voir si le projet entier peut intéresser la revue).
C'est une courageuse initiative ! Je veux bien vous aider avec mes modestes moyens, mais j'ai peur de ne savoir résoudre qu'une petite partie des planches (j'étais moi-même candidat). Edit : A moins que toutes les planches aient été résolues dans ce fil et qu'il suffise de les mettre au propre, mais j'ai des doutes.
L'idée est-elle d'écrire des solutions dans le cadre du programme de prépa ? Car le début de la planche 15 fait appel au théorème des nombres premiers... On pourrait remplacer dans ce passage-là la suite $a_k=p_k$ par $a_k = \lfloor k\ln(k)\rfloor$ qui donne aussi un contre-exemple.
Toute aide est la bienvenue, même si c'est juste de la relecture. Certaines planches n'ont pas de solution dans le fil, mais ce serait étonnant qu'aucun membre du forum ne les aient déjà cherchées et résolues (d'où l'appel à contribution). Des références externes ont aussi été données pour quelques exercices. En tout cas, si tu repères des énoncés qui t'inspirent, n'hésite pas et envoie moi un message privé.
L'idéal serait effectivement que chaque exercice ait au moins une solution dans la réunion des programmes de MPSI et MP, mais ce n'est pas toujours facile à respecter. Par ailleurs, il est souvent intéressant de d'indiquer en complément d'autres solutions, éventuellement hors-programme, à condition d'expliquer un minimum les arguments.
Pour la 32, je sais tout ça...
Mais, la remarque a été écrite (car j'avais en tête ) pour traiter le cas "difficile" qui suit :
Si la série de Taylor de $f$ (une fonction $C^{\infty}$) a un rayon de convergence uniformément minoré en tout point alors $f$ est $\mathbb{R}$-analytique... J'aurais du être plus explicite!
Le manque de temps est notre problème à tous, ça ne doit pas t'arrêter ! En fait nous travaillons déjà avec Overleaf (et GitHub) mais je préfère ne pas rendre public le lien de partage des sources pour l'instant. C'est en chantier.
Après, par rapport aux exercices étoilés et demandés par la RMS : il ne reste plus qu'une poignée d'exos à traiter (celui sur la CNS pour avoir un vecteur propre en commun et celui sur le "ping-pong" : système dynamique avec des matrices qui commutent...) parmi ceux qui appraissent sur cette planche ^^
"Si la série de Taylor de $f$ a un rayon de convergence uniformément minoré en tout point alors $f$ est $\mathbb{R}$-analytique" n'est pas un résultat "facile" (ce théorème est connu sous le nom de théorème de Pringsheim). La difficulté est la suivante : rien ne dit que la série de Taylor de $f$ ne converge vers $f$ et donc que $f$ est analytique... Il suffit de penser à des fonctions plates pour s'en convaincre!
C'est justement la condition sur les rayons uniformément minorés qui permet d'éviter ce genre de pathologie!
C'est plus subtil qu'il n'y parait!
La remarque, extrêment scrabeuse -je l'admets-dans les notes données par Siméon, concerne ce résultat et rien d'autre (comme j'ai tenté de l'expliquer dans un point précédent de ce poste).
Planche 28
Je ne vois pas en quoi les probas apparaîtraient comme naturelles pour traiter la question.
Il s'agit au fond d'un problème de dénombrement : combien d'entiers à $k$ chiffres ont moins de $\lambda k $ chiffre $9$ dans leur écriture ? Dénombrement et probabilités étant à ce niveau très reliés.
Oui, c'est parce que le théorème d'Ascoli s'applique à des fonctions définies sur un compact. Ce qui est vrai en revanche, c'est qu'Ascoli donne la convergence uniforme sur les compacts, ce qui est suffisant pour conclure à la continuité de $g$. Donc on peut rattraper cette remarque.
Si $t \to t_0$ par valeurs inférieures, alors $-t \to -t_0$ par valeurs supérieures...
Je crois comprendre que tu cherches à prouver la continuité de la fonction de répartition de toute loi symétrique par rapport à $0$. Ceci est évidemment faux, ainsi que le montre l'exemple de la loi $\delta_0$.
P.S. Souhaites-tu participer au projet évoqué plus haut ? Il serait dans ce cas plus intéressant de résoudre des questions dont une solution n'a pas déjà été donnée.
Bonjour
Pour l’exercice 1 de la planche 17 on peut aussi montrer le résultat pour les fonctions en escaliers, ce qui est très intéressant pour un élève de sup (lecture du graphe et relations coefficients-racines) puis approcher uniformément.
Vincent
A ma surprise, je découvre que les solutions proposées et discutées dans ce forum sont regroupées au propre dans un fichier. Un grand merci à ceux qui ont contribué à ce grand travail bien soigné.
Bravo
@totem : Il ya effectivement eu un raccourci... et je ne vois pas ce qui a permis de faire si court !
Voici comment je le vois :
Puisque $\chi_A$ est un polynôme de degré 2 qui annule $A$, par division euclidienne de $X^6-1$ par $\chi_A$, on obtiens un reste $R=aX+b$ qui est de degré inférieur ou égal à 1 (avec $a$ et $b$ dans $\Q$ puisque $A$ l'est) et qui annule $A$. Mais si $a\neq 0$ alors $A$ est une matrice scalaire et à coefficients rationnels qui est d'ordre 6 donc le scalaire en question vaut 1 ou -1 puisque sa puissance 6ème vaut 1... et c'est absurde car $A$ serait alors d'ordre 1 ou 2.
Par conséquent $a=b=0$ et $\chi_A$ divise $X^6-1$.
Si $A$ est d'ordre 6 alors elle n'est pas d'ordre 3, 2 ou 1 donc $X^3-1$, $X^2-1$ et $X-1$ n'annulent pas $A$. Or, dans les facteurs irréductibles sur $\Q$ de $X^6-1$, seul le facteur $X^2-X+1$ ne divise aucun des polynômes précédemment cité. Donc $\chi_A=X^2-X+1$ puisque tous les deux sont unitaires.
Réciproquement, si $\chi_A=X^2-X+1$ alors $X^6-1$ annule $A$ mais $X^3-1$, $X^2-1$ et $X-1$ n'annulent pas $A$ car aucune des racines de ces polynômes n'annule $\chi_A$. Donc $A$ est d'ordre 6.
Bonjour
J'ai justement réfléchi sur la planche 8.1. et ai regardé votre solution. Le problème est que, a priori, on n'a pas $b_{n+1}> b_n$ et même en considérant une sous-suite strictement croissante $(b_{n_k})$ on n'a pas forcément $1\geq \frac{n_{k+1}(1-\epsilon)}{n_k}$.
Remarque : pour le sens où on cherche l'existence de la suite $(b_n)$ j'ai considéré : $b_n=\sup \{x \geq 0 \mid P(X \geq x) \geq \frac{1}{n} \}.$ Et cela semble très bien marcher. Pour la réciproque, je coince (cf. ce que j'ai écrit au-dessus).
Cordialement.
Réponses
Bref tout ça pour dire que side utilise une méthode dite de Laplace qui est quand même assez technique et que je ne comprends pas très bien...
Mais vous allez me dire qu'il n'est pas toujours utile de comprendre parfaitement une méthode pour résoudre un problème :-)
Dans cet article, l'auteur propose une stratégie de preuve des deux identités reposant sur un point de vue probabiliste et faisant aussi intervenir les relations entre coefficients et racines pour le polynôme $P_y=2X^3-3X^2+y$. Ce n'est pas clair pour moi... Si quelqu'un avait la gentillesse de détailler ...
J'espère que les détails qui suivent et qui ignorent l'aspect probabiliste te conviendront.
Soit $u$ la fonction: $\:\:x \longmapsto 3x^2 - 2x^3.$
L'examen des variations de $u$ montre que $u$ réalise une bijection de chacun des intervalles $[-\frac 12;0],\: [0;1],\ [1; \frac32]$ sur $[0;1].$
Notons respectivement $v_1,\:v_2,\:v_3 $ les bijections réciproques des précédentes.
Alors: $\forall t \in [0;1],\:\: v_1(t),v_2(t),v_3(t) $ sont les trois solutions (réelles) de l'équation $u(x) =t,\:$ équivalente à $\:\:2x^3-3x^2 +t =0.$
Ainsi: $\:\forall t \in [0;1],\: v_1(t) + v_2(t) +v_3(t) = \frac32,\quad\quad \forall t \in ]0;1[,\:\: v'_1(t) + v'_2(t) + v'_3 (t) = 0.$
En effectuant respectivement sur chacun des intervalles $[-\frac12;0],\:[0;1],\: [1;\frac32]$ le changement de variable $x =v_1(t),\:x =v_2(t),\:x=v_3(t),$
on obtient: $\displaystyle -\int _{-\frac12}^{\frac32} (f\circ u)(x) \:\mathrm dx + 2\int _0^1 (f \circ u)(x) \:\mathrm dx = \int _0^1 f(t) \Big( v'_1(t) +v'_2(t) +v'_3(t) \Big) \:\mathrm dt = 0 \:\:\:\square$
Oui, c'est à présent clair. Merci pour ta réponse.
ce n'est ce qui est demandé dans la planche 17 il faut prouver que
$\int_{-1/2}^{3/2}xf(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}xf(3x^2-2x^3)dx$
L'argument est le même: en conservant les notations précédentes, les relations entre coefficients et racines donnent:
$\forall t \in [0;1],\:\:\: v_1(t)^2 + v_2(t)^2 +v_3(t)^2 =\left(\frac 32 \right)^2, \qquad v_1(t)v_1'(t) +v_2(t)v_2'(t) +v_3(t)v_3'(t) =0,$
et un changement de variable identique au précédent conduit à:
$\displaystyle 2\int_0^1x\: (f\circ u )(x)\: \mathrm dx-\int_{-\frac {1}2}^{\frac 32} x\: (f \circ u)(x)\: \mathrm dx =\int_0 ^1 \Big(v_1v_1' + v_2 v_2' +v_3v_3' \Big )(t)\: f(t) \:\mathrm d t = 0.$
Ainsi: $\:\forall t \in [0;1],\: v_1(t) + v_2(t)
+v_3(t) = \frac32,\quad\quad \forall t \in
]0;1[,\:\: v'_1(t) + v'_2(t) + v'_3 (t) = 0.$
En effectuant respectivement sur chacun des
intervalles $[-\frac12;0],\:[0;1],\: [1;\frac32]$
le changement de variable $x =v_1(t),\:x
=v_2(t),\:x=v_3(t),$
on obtient: $\displaystyle -\int
_{-\frac12}^{\frac32} (f\circ u)(x) \:\mathrm dx +
2\int _0^1 (f \circ u)(x) \:\mathrm dx = \int _0^1
f(t) \Big( v'_1(t) +v'_2(t) +v'_3(t) \Big)
\:\mathrm dt = 0 \:\:\:\square$
Subtil
$-\int_{-1/2}^{3/2}f(u(x))dx=\int_{-1/2}^{0}f(u(x))dx+\int_{0}^{1}f(u(x))dx+\int_{1}^{3/2}f(u(x))dx$
$=\int_{0}^{1}f(t)v'_1(t)dt-\int_{0}^{1}f(t)v'_2(t)dt+\int_{0}^{1}f(t)v'_3(t)dt$
Ceci est un appel aux bonnes volontés. Nous avons commencé à recueillir et rédiger avec Bobby Joe et Mickaël des solutions détaillées des 36 planches. Nous avançons bien mais, comme vous pouvez le constater avec le document en pièce jointe, le travail est loin d'être terminé ! Certains exercices ne sont pas encore rédigés et il faudra aussi tout relire, corriger, améliorer, etc. Nous ne sommes pas assez nombreux pour finir dans un temps raisonnable.
Quasiment tous les exercices ont une solution rédigée. Il reste encore à relire, corriger, améliorer, etc. J'invite tous ceux qui voudraient participer à ce projet à se manifester.
L'objectif final est de laisser ce document, ainsi que ses sources LaTeX, en libre accès en ligne.
Rien n'empêche les contributeurs d'envoyer aussi leurs solutions à la RMS pour les publier (je contacterai d'ailleurs les rédacteurs pour voir si le projet entier peut intéresser la revue).
Fichiers sources (dépôt framagit).
L'idée est-elle d'écrire des solutions dans le cadre du programme de prépa ? Car le début de la planche 15 fait appel au théorème des nombres premiers... On pourrait remplacer dans ce passage-là la suite $a_k=p_k$ par $a_k = \lfloor k\ln(k)\rfloor$ qui donne aussi un contre-exemple.
Toute aide est la bienvenue, même si c'est juste de la relecture. Certaines planches n'ont pas de solution dans le fil, mais ce serait étonnant qu'aucun membre du forum ne les aient déjà cherchées et résolues (d'où l'appel à contribution). Des références externes ont aussi été données pour quelques exercices. En tout cas, si tu repères des énoncés qui t'inspirent, n'hésite pas et envoie moi un message privé.
L'idéal serait effectivement que chaque exercice ait au moins une solution dans la réunion des programmes de MPSI et MP, mais ce n'est pas toujours facile à respecter. Par ailleurs, il est souvent intéressant de d'indiquer en complément d'autres solutions, éventuellement hors-programme, à condition d'expliquer un minimum les arguments.
Petite question/suggestion : pourquoi ne pas utiliser Overleaf pour la rédaction à plusieurs ?
Mais, la remarque a été écrite (car j'avais en tête ) pour traiter le cas "difficile" qui suit :
Si la série de Taylor de $f$ (une fonction $C^{\infty}$) a un rayon de convergence uniformément minoré en tout point alors $f$ est $\mathbb{R}$-analytique... J'aurais du être plus explicite!
Le manque de temps est notre problème à tous, ça ne doit pas t'arrêter ! En fait nous travaillons déjà avec Overleaf (et GitHub) mais je préfère ne pas rendre public le lien de partage des sources pour l'instant. C'est en chantier.
sur le forum. Excellente idée le partage des connaissances.
La difficulté est la suivante : rien ne dit que la série de Taylor de $f$ ne converge vers $f$ et donc que $f$ est analytique... Il suffit de penser à des fonctions plates pour s'en convaincre!
C'est justement la condition sur les rayons uniformément minorés qui permet d'éviter ce genre de pathologie!
C'est plus subtil qu'il n'y parait!
La remarque, extrêment scrabeuse -je l'admets-dans les notes données par Siméon, concerne ce résultat et rien d'autre (comme j'ai tenté de l'expliquer dans un point précédent de ce poste).
Si $t \to t_0$ par valeurs inférieures, alors $-t \to -t_0$ par valeurs supérieures...
Je crois comprendre que tu cherches à prouver la continuité de la fonction de répartition de toute loi symétrique par rapport à $0$. Ceci est évidemment faux, ainsi que le montre l'exemple de la loi $\delta_0$.
P.S. Souhaites-tu participer au projet évoqué plus haut ? Il serait dans ce cas plus intéressant de résoudre des questions dont une solution n'a pas déjà été donnée.
https://artofproblemsolving.com/community/c7h1939621p13385027
Pour l’exercice 1 de la planche 17 on peut aussi montrer le résultat pour les fonctions en escaliers, ce qui est très intéressant pour un élève de sup (lecture du graphe et relations coefficients-racines) puis approcher uniformément.
Vincent
PS: bravo et merci pour tout ce travail!
svp p 29 du corrigé , en bas solution de l'ex 2 de 8.3 je ne comprends pas l'équivalence : " $A$ est d'ordre 6 $\iff$ $ \chi_A (X)=X^2-X+1$" ?
J'ai compris que le polynôme $X^6-1$ annule $A$ mais après...
Faut-il se servir du théorème de Cayley-Hamilton ou pas du tout ? merci.
Bravo
Voici comment je le vois :
Puisque $\chi_A$ est un polynôme de degré 2 qui annule $A$, par division euclidienne de $X^6-1$ par $\chi_A$, on obtiens un reste $R=aX+b$ qui est de degré inférieur ou égal à 1 (avec $a$ et $b$ dans $\Q$ puisque $A$ l'est) et qui annule $A$. Mais si $a\neq 0$ alors $A$ est une matrice scalaire et à coefficients rationnels qui est d'ordre 6 donc le scalaire en question vaut 1 ou -1 puisque sa puissance 6ème vaut 1... et c'est absurde car $A$ serait alors d'ordre 1 ou 2.
Par conséquent $a=b=0$ et $\chi_A$ divise $X^6-1$.
Si $A$ est d'ordre 6 alors elle n'est pas d'ordre 3, 2 ou 1 donc $X^3-1$, $X^2-1$ et $X-1$ n'annulent pas $A$. Or, dans les facteurs irréductibles sur $\Q$ de $X^6-1$, seul le facteur $X^2-X+1$ ne divise aucun des polynômes précédemment cité. Donc $\chi_A=X^2-X+1$ puisque tous les deux sont unitaires.
Réciproquement, si $\chi_A=X^2-X+1$ alors $X^6-1$ annule $A$ mais $X^3-1$, $X^2-1$ et $X-1$ n'annulent pas $A$ car aucune des racines de ces polynômes n'annule $\chi_A$. Donc $A$ est d'ordre 6.
J'ai justement réfléchi sur la planche 8.1. et ai regardé votre solution. Le problème est que, a priori, on n'a pas $b_{n+1}> b_n$ et même en considérant une sous-suite strictement croissante $(b_{n_k})$ on n'a pas forcément $1\geq \frac{n_{k+1}(1-\epsilon)}{n_k}$.
Remarque : pour le sens où on cherche l'existence de la suite $(b_n)$ j'ai considéré : $b_n=\sup \{x \geq 0 \mid P(X \geq x) \geq \frac{1}{n} \}.$ Et cela semble très bien marcher. Pour la réciproque, je coince (cf. ce que j'ai écrit au-dessus).
Cordialement.
Voir le post de Sasha
[Igor Kortchemski (1987- ) prend toujours une majuscule. AD]