Compactifié d'Alexandrov
dans Analyse
Bonjour
Je m'intéresse au compactifié d'Alexandrov pour l'espace topologique des réels munis de sa topologie usuelle.
Ce que je n'ai pas compris, c'est une remarque que j'ai lue et qui est la suivante.
Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point « à l'infini » : à l'infini la droite réelle se « referme » en un cercle.
Comment l'infini de la droite réelle se referme en un cercle ?
Je m'intéresse au compactifié d'Alexandrov pour l'espace topologique des réels munis de sa topologie usuelle.
Ce que je n'ai pas compris, c'est une remarque que j'ai lue et qui est la suivante.
Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point « à l'infini » : à l'infini la droite réelle se « referme » en un cercle.
Comment l'infini de la droite réelle se referme en un cercle ?
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Réponses
Retire le point $\Omega = (-1,0)$, et appellons $S^*$ l'ensemble obtenu. $S^*$ est alors homéomorphe à $\mathbb{R}$, par exemple avec la bijection suivante :
$\phi: \mathbb{R} \to S^*$ définie par $\phi(x) = (\cos(2\arctan(x)) ; \sin(2\arctan(x)) )$
Donc $S^*$ c'est "pareil" (topologiquement parlant) que les réels.
Maintenant, qu'est-ce qui se passe si on "rajoute" un point $\omega$ à $\mathbb{R}$ qui correspond à $\Omega$?
On défini $\overline{\phi} : \mathbb{R}\cup \{\omega\} \to S$ par
$\overline{\phi}(\omega) = \Omega$ et $\forall x\in \mathbb{R}, \overline{\phi}(x) = \phi(x)$.
Et on choisi de mettre sur $\mathbb{R} \cup \{\omega\}$ la topologie (la plus simple) qui rend $\overline{\phi}$ continue
je me pose une question et peut-être que cela recalera l'idée que je me fais du compactifié D'Alexandrov d'un e.v.n de dimension finie.
Le compactifié d'Alexandrov d'un e.v.n de dimension finie
consiste à dire que les fermés complémentaires d'ouverts contenus dans un compact de la topologie de l'evn contient un point : "l'infini"
par extension est-ce que l'espace obtenu par projection stéréographique de cet evn +"l'infini" en ferait un espace compact ou la projection stéréographique enverrait les infinis de l'evn sur "l'infini", et la projection serait un homéomorphisme d'espaces compacts ?
(i.e la sphère unité de $\mathbb{R}^{n+1}$ et le compactifié d'Alexandrov de $\mathbb{R}^n$)
je me restreins aux evn de dimension finie
Si quelqu'un pouvait infirmer mes dires s'ils sont faux.
Merci.