Bonjour
la réponse de Yves se justifie simplement : en posant $E(\frac{1}{|x|}) = n$ avec $n$ entier puisque $x$ tend vers 0 à droite.
Il vient la somme $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ équivalent à $\frac{n^2}{2}$ pour $n$ infini
et donc $l =$ limite pour $n$ infini du rapport $\frac{1}{n^2}.\frac{n^2}{2}$ soit $\frac{1}{2}$.
Réponses
$1/2$
la réponse de Yves se justifie simplement : en posant $E(\frac{1}{|x|}) = n$ avec $n$ entier puisque $x$ tend vers 0 à droite.
Il vient la somme $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ équivalent à $\frac{n^2}{2}$ pour $n$ infini
et donc $l =$ limite pour $n$ infini du rapport $\frac{1}{n^2}.\frac{n^2}{2}$ soit $\frac{1}{2}$.
Cordialement.
\[ \begin{array}{}
x^2 \left(1+\cdots+E\left( \frac{1}{|x|}\right) \right) & = & \frac{1+\cdots+E\left( y\right) }{y^2} & \text{en posant }y=\frac{1}{|x|} \text{.}\\
& = & \frac{E(y) E(y+1)}{2y^2} & \\
& = & \frac{x^2}{2} E\left( \frac{1}{|x|}\right)E\left( \frac{1}{|x|}+1 \right) &
\end{array}\]
Oui , c'est super clair, on tombe sur un polynôme qui tend vers $\frac{1}{2}$
$@jean \; lismonde$
Au début je n'ai pas compris, mais avec la formulation de $Tryss$ c'est bien.
@Tyoussef : ce que tu écris montre que tu n’as pas trouvé une démonstration du résultat. Écris une preuve pour t’en rendre compte.
Non, au contraire, en fait je suis en train de la faire je mélange les deux propositions ...
La variable $y$ est définie par $Tryss$
\begin{eqnarray*}
y\leqslant E(y) < y+1
&\Leftrightarrow & y+1 \leqslant E(y)+1 < y+2 \\
&\Leftrightarrow & y(y+1)\leqslant E(y)(E(y)+1) < (y+1)(y+2) \\
&\Leftrightarrow & \frac{1}{2y^2} \times (y^2+y)\leqslant \frac{1}{2y^2} \times E(y)(E(y)+1) < \frac{1}{2y^2} \times (y^2+3y+2) \\
&\Leftrightarrow & \frac{(y^2+y)}{2y^2} \leqslant \frac{E(y)(E(y)+1)}{2y^2} <\frac{y^2+3y+2}{2y^2}
\end{eqnarray*}
D'ou le $$\frac{1}{2}$$
Les signes équivalents rendent ces écritures fausses : donc c’est faux. C’est dommage.
Oui tu as raison