Calculer une limite

Tyoussef · July 2019

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)

Calculer $$ l= \lim_{x \to 0} x^2 \times \Big(1+2+3+\cdots+E\big( \frac{1}{\vert x\vert}\big) \Big)

$$ Merci d'avance.

YvesM · July 2019

Bonjour,

$1/2$

jean lismonde · July 2019

Bonjour
la réponse de Yves se justifie simplement : en posant $E(\frac{1}{|x|}) = n$ avec $n$ entier puisque $x$ tend vers 0 à droite.
Il vient la somme $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ équivalent à $\frac{n^2}{2}$ pour $n$ infini
et donc $l =$ limite pour $n$ infini du rapport $\frac{1}{n^2}.\frac{n^2}{2}$ soit $\frac{1}{2}$.

Cordialement.

Tryss · July 2019

Au passage, on peut donner la valeur exacte de cette expression :

\[ \begin{array}{}
x^2 \left(1+\cdots+E\left( \frac{1}{|x|}\right) \right) & = & \frac{1+\cdots+E\left( y\right) }{y^2} & \text{en posant }y=\frac{1}{|x|} \text{.}\\
& = & \frac{E(y) E(y+1)}{2y^2} & \\
& = & \frac{x^2}{2} E\left( \frac{1}{|x|}\right)E\left( \frac{1}{|x|}+1 \right) &
\end{array}\]

Tyoussef · July 2019

$@Tryss$
Oui , c'est super clair, on tombe sur un polynôme qui tend vers $\frac{1}{2}$

$@jean \; lismonde$
Au début je n'ai pas compris, mais avec la formulation de $Tryss$ c'est bien.

YvesM · July 2019

Bonjour,

@Tyoussef : ce que tu écris montre que tu n’as pas trouvé une démonstration du résultat. Écris une preuve pour t’en rendre compte.

Tyoussef · July 2019

$@YvesM$
Non, au contraire, en fait je suis en train de la faire je mélange les deux propositions ...

Tyoussef · July 2019

$@YvesM$

La variable $y$ est définie par $Tryss$

\begin{eqnarray*}
y\leqslant E(y) < y+1
&\Leftrightarrow & y+1 \leqslant E(y)+1 < y+2 \\
&\Leftrightarrow & y(y+1)\leqslant E(y)(E(y)+1) < (y+1)(y+2) \\
&\Leftrightarrow & \frac{1}{2y^2} \times (y^2+y)\leqslant \frac{1}{2y^2} \times E(y)(E(y)+1) < \frac{1}{2y^2} \times (y^2+3y+2) \\
&\Leftrightarrow & \frac{(y^2+y)}{2y^2} \leqslant \frac{E(y)(E(y)+1)}{2y^2} <\frac{y^2+3y+2}{2y^2}
\end{eqnarray*}

D'ou le $$\frac{1}{2}$$