Relie ta somme $S$ à $\displaystyle T=\sum_{n,m\geq 1} {1\over nm(n+m)}$. Utilise symétrie et $\zeta(3).$
De tète, donc sans garantie, je trouve : $T=2S + \zeta(3)/2.$
Considère $\displaystyle T(x)=\sum_{n,m} {x^{n+m}\over nm(n+m)}$ pour $|x|\leq 1$, justifie la dérivation terme à terme, dérive, calcule et montre que $T(1)-T(0)=\int_0^1 {\ln^2(1-x)\over x}dx$, puis conclus.
Pour calculer l’intégrale, change la variable $x\leadsto 1-x$, puis développe le dénominateur en série (indice $k$), puis change la variable $x^{k+1}\leadsto y$ et intègre deux fois par partie pour trouver $\displaystyle \int_0^1 \ln^2 x dx=2.$
Je trouve sans vérifier : $S=1/2 (2 \zeta(3))-\zeta(3)/4=3\zeta(3)/ 4.$
On peut aussi faire sans intégrale en restant sur des sommes, mais c’est un peu technique.
bonjour,
je ne comprends pas ton écriture mathématique : s'agit-il bien d'une double somme suivant deux indices $m$ et $n$ ? Qui s'écrirait : $\displaystyle \sum_{1 ; +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{n; +\infty}\Big[\frac{1}{m}-\frac{1}{n+m}\Big]$
en utilisant les développements de fonctions, suggérés par Yves on doit pouvoir effectivement aboutir. Cordialement
Réponses
Mazette !
Montre l’existence.
Relie ta somme $S$ à $\displaystyle T=\sum_{n,m\geq 1} {1\over nm(n+m)}$. Utilise symétrie et $\zeta(3).$
De tète, donc sans garantie, je trouve : $T=2S + \zeta(3)/2.$
Considère $\displaystyle T(x)=\sum_{n,m} {x^{n+m}\over nm(n+m)}$ pour $|x|\leq 1$, justifie la dérivation terme à terme, dérive, calcule et montre que $T(1)-T(0)=\int_0^1 {\ln^2(1-x)\over x}dx$, puis conclus.
Pour calculer l’intégrale, change la variable $x\leadsto 1-x$, puis développe le dénominateur en série (indice $k$), puis change la variable $x^{k+1}\leadsto y$ et intègre deux fois par partie pour trouver $\displaystyle \int_0^1 \ln^2 x dx=2.$
Je trouve sans vérifier : $S=1/2 (2 \zeta(3))-\zeta(3)/4=3\zeta(3)/ 4.$
On peut aussi faire sans intégrale en restant sur des sommes, mais c’est un peu technique.
je ne comprends pas ton écriture mathématique : s'agit-il bien d'une double somme suivant deux indices $m$ et $n$ ?
Qui s'écrirait : $\displaystyle \sum_{1 ; +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{n; +\infty}\Big[\frac{1}{m}-\frac{1}{n+m}\Big]$
en utilisant les développements de fonctions, suggérés par Yves on doit pouvoir effectivement aboutir.
Cordialement
Voir:
https://math.stackexchange.com/questions/2214973/how-can-one-evaluate-the-basic-tornheim-sum