Série sur les nombres premiers
Le reste $$
R(x) := \sum_{\substack{\nu \geqslant 2 \\ p^{\nu} > x}} \frac{1}{p^{\nu}}
$$ converge vers $0$ quand $x$ tend vers l'infini mais comment peut-on obtenir son ordre de grandeur svp ?
Mon premier essai a été le suivant : pour $y,\alpha>1$, je pense avoir prouvé qu'on a $$
\sum_{p > y} \frac{1}{p^\alpha} \asymp \frac{1}{y^{\alpha-1}\,\ln\,y},
$$ par exemple par sommation par parties et ainsi on obtient ici $$
R(x) = \sum_{\nu \geqslant 2} \, \sum_{p > x^{1/\nu}} \frac{1}{p^{\nu}} \asymp \sum_{\nu \geqslant 2} \, \frac{1}{(x^{1/\nu})^{\nu-1}\,\ln\left(x^{1/\nu}\right)} = \frac{1}{x\,\ln\,x} \, \sum_{\nu \geqslant 2} \, \nu\,x^{1/\nu},
$$ ce qui semble faux, puisque la série obtenue diverge, mais je ne vois pas où est mon erreur ... Est-ce que cela provient de la première formule (on aurait seulement $\ll$ et pas $\asymp$) svp ?
Merci d'avance.
R(x) := \sum_{\substack{\nu \geqslant 2 \\ p^{\nu} > x}} \frac{1}{p^{\nu}}
$$ converge vers $0$ quand $x$ tend vers l'infini mais comment peut-on obtenir son ordre de grandeur svp ?
Mon premier essai a été le suivant : pour $y,\alpha>1$, je pense avoir prouvé qu'on a $$
\sum_{p > y} \frac{1}{p^\alpha} \asymp \frac{1}{y^{\alpha-1}\,\ln\,y},
$$ par exemple par sommation par parties et ainsi on obtient ici $$
R(x) = \sum_{\nu \geqslant 2} \, \sum_{p > x^{1/\nu}} \frac{1}{p^{\nu}} \asymp \sum_{\nu \geqslant 2} \, \frac{1}{(x^{1/\nu})^{\nu-1}\,\ln\left(x^{1/\nu}\right)} = \frac{1}{x\,\ln\,x} \, \sum_{\nu \geqslant 2} \, \nu\,x^{1/\nu},
$$ ce qui semble faux, puisque la série obtenue diverge, mais je ne vois pas où est mon erreur ... Est-ce que cela provient de la première formule (on aurait seulement $\ll$ et pas $\asymp$) svp ?
Merci d'avance.
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Réponses
Une autre manière d'attaquer ton problème est le suivant : je rappelle que $\Lambda(n) = \log p$ si $n$ est une puissance de $p$, $0$ sinon, que $\theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p \underset{x \to +\infty}{\sim} x$ et $\psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)$ qui vérifient $\psi(x) - \theta(x) \asymp x^{1/2}$.
Ta somme est $$\sum_{n > x} \frac{\Lambda(n) -\mathbf 1_{\mathcal P}(n) \log n}{n}.$$ Une sommation par parties montre qu'elle est égale à $$-\frac{\psi(x) - \theta(x)}{x} + \int_x^{+\infty} \frac{\psi(t) - \theta(t)}{t^2} \,dt$$ qui fournit facilement un $\asymp \frac{1}{x^{1/2}}$ avec les estimations données plus haut.
\sum_{n > x} \frac{\Lambda(n) -\mathbf 1_{\mathcal P}(n) \log n}{n} = \sum_{\substack{\nu \geqslant 2 \\ p^{\nu} > x}} \frac{\log\,p}{p^{\nu}},
$$ non ?
$$R(x) = \sum_{p > x} \sum_{\alpha = 2}^\infty \frac{1}{p^\alpha} + \sum_{p \leqslant x} \sum_{\alpha = \lfloor \log x / \log p \rfloor + 1}^\infty \frac{1}{p^\alpha} = \sum_{p > x} \frac{1}{p(p-1)} + O \left( \frac{\pi(x)}{x} \right) \ll \frac{1}{\log x}.$$
\frac{1}{x\,\ln\,x} \ll R(x) \ll \frac{1}{\ln\,x}. $$
Il est clair que cette majoration n'est pas optimale, mais il est difficile de majorer la seconde somme
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{p^{- \lfloor \log x / \log p \rfloor}}{p-1}$$
autrement que par la majoration triviale.
Ta somme vaut donc $$\sum_{n > x} \frac{\Lambda(n) -\mathbf 1_{\mathcal P}(n) \log n}{n \log n} = - \frac{\psi(x) - \theta(x)}{x \log x} + \int_x^{+\infty} \frac{(\psi(t) - \theta(t))(\log(t)+1)}{x^2\log^2 t} \,dt \asymp \frac{1}{x^{1/2} \log x} + \int_x^{+\infty} \frac{1}{t^{3/2} \log t} \,dt$$ que j'ai la flemme d'estimer ce soir :-D
$$ R(x) \asymp \frac{1}{\sqrt{x}\,\ln\,x}.$$
Ici, la sommation porte sur les couples $(p,\nu) \in \mathbb{P} \times \left[2, + \infty \right[$ vérifiant $p^\nu > x$.
Par ailleurs, je reviens sur la majoration plus haut : en utilisant $\left \lfloor \log x / \log p \right \rfloor \geqslant \frac{1}{2} \log x / \log p$, on obtient
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{p^{-\lfloor \log x / \log p \rfloor}}{p-1} \leqslant \frac{1}{\sqrt x} \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p-1} \ll \frac{\log \log x}{\sqrt x}$$
d'où
$$R(x) \ll \frac{\log \log x}{\sqrt x}.$$
Cette méthode est celle que l'on utilise usuellement lorsque l'on ne souhaite obtenir que des bornes (ce qui était demandé ici a priori).
De plus, ma question initiale était de tenter d'obtenir l'ordre de grandeur exact de $R(x)$ ( " comment peut-on obtenir son ordre de grandeur svp ? "), qui est donc $1/\sqrt{x}\,\ln\,x$
Un exemple type est l'estimation de sommes de la forme $\displaystyle \sum_{n > x} \chi(n) f(n)$ où $\chi$ est un caractère non principal de Dirichlet et $f$ est souvent une fonction très régulière, décroissante et tendant vers $0$ à l'infini. Pour ce type de somme, on a de bons résultats après application d'une sommation d'Abel (ou sommation partielle) et l'utilisation au choix de l'inégalité de Polyá-Vinogradov ou des résultats de Burgess.
Maintenant, il est possible que l'on cherche des formules asymptotiques de ces sommes. Personnellement, je n'en ai jamais vu dans les divers travaux de recherche que j'ai pu consulter, ou que j'ai pu publier, mais c'est tout à fait possible, bien que techniquement un peu plus difficile.