Convolution / définition
Quand j'étais étudiant, la définition que l'on m'a donné du produit de convolution était $$ f*g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t)g(t) dt.
$$ Pourtant, j'ai vu, au moins à deux reprises, sur internet la définition suivante : $$ f*g(x)=\int_{0}^{x} f(x-t)g(t) dt.
$$ A priori c'est celle du dessus qui est juste mais j'aimerais comprendre pourquoi on trouve également celle du dessous (avec l'intégrale de 0 à $x$).
Quelqu'un aurait-il une explication ?
$$ Pourtant, j'ai vu, au moins à deux reprises, sur internet la définition suivante : $$ f*g(x)=\int_{0}^{x} f(x-t)g(t) dt.
$$ A priori c'est celle du dessus qui est juste mais j'aimerais comprendre pourquoi on trouve également celle du dessous (avec l'intégrale de 0 à $x$).
Quelqu'un aurait-il une explication ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La formule trouvée sur internet est bien évidemment fausse en toute généralité.
Cela dit, elle est correcte si $f$ et $g$ sont identiquement nulles sur $\mathbb{R}_-$ et si $x\geqslant 0$: peut-être as-tu rencontré cette formule au niveau de la détermination de la loi de $X+Y$ avec $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité indépendantes à valeurs dans $\mathbb{R}_+$ (par exemple, de loi exponentielle) ?
le premier me parait très approximatif mais j'en ai vu également un deuxième: et même un 3ème
Après, il semble en effet que sur les exemples physiques choisis les fonctions soient définies seulement pour $x>0$...
Tu peux utiliser la définition générale avec deux fonctions $f$ et $g$ nulles sur $]-\infty, 0[$, tu retrouveras cette définition particulière pour $x\ge 0$ et le fait que le produit de convolution est lui aussi nul sur $]-\infty, 0[$.
Cette définition est très utilisées dans certains domaines, car "rien ne se passe" pour $x<0$.
Cordialement.
(*) définies seulement sur $\mathbb R^+$ ou plus généralement sur $\mathbb R$, mais nulles sur $]-\infty, 0[$
Merci pour vos explications.