Équivalence asymptotique
Bonjour tout le monde
Super coincé par un exercice.
Déterminer une équivalence asymptotique de la fonction $f\left( x \right)$ à partir d’une fonction plus simple de la forme $c{{x}^{\alpha }}$ou $c{{\left( x-{{x}_{o}} \right)}^{\alpha }},$ avec $c,\alpha \in \mathbb{R}$ \[f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-x,\]pour $x\xrightarrow{{}}+\infty $
Moi j’ai essayé de conjuguer l’expression mais elle s’annule toujours
Je l’ai transformée en $e$ (neper) mais elle s’annule toujours
Quelqu’un a-t-il une idée ?
La réponse c’est $\dfrac{1}{3x}$ mais comment y arriver ?
Merci !
Super coincé par un exercice.
Déterminer une équivalence asymptotique de la fonction $f\left( x \right)$ à partir d’une fonction plus simple de la forme $c{{x}^{\alpha }}$ou $c{{\left( x-{{x}_{o}} \right)}^{\alpha }},$ avec $c,\alpha \in \mathbb{R}$ \[f\left( x \right)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-x,\]pour $x\xrightarrow{{}}+\infty $
Moi j’ai essayé de conjuguer l’expression mais elle s’annule toujours
Je l’ai transformée en $e$ (neper) mais elle s’annule toujours
Quelqu’un a-t-il une idée ?
La réponse c’est $\dfrac{1}{3x}$ mais comment y arriver ?
Merci !
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Réponses
$f(x) = x( (1 + 1/x^2)^{1/3} - 1) = x(1 + \frac{1}{3x^2} + o(1/x^2) - 1) = ...$
Non je ne devrais pas utiliser les DL car à ce niveau du livre les DL sont encore plus en avant. La consigne exige d'utiliser l'équivalence symptotique. En fait c'est meme une façon d'introduire les DL à mon avis.
En fait après avoir transformé en e (Neper) j'utilise le calcul des limites pour les fonctions composées. et le résultat est 1/3x
Merci
Point de départ: la fonction $g:~h\mapsto (1+h)^{1/3}$ est dérivable en $0$ et son nombre dérivée en $0$ vaut $\displaystyle\frac{1}{3}$.
De manière plus explicite, si on note $T_g$ le taux d'accroissement de $g$ en $0$ , nous avons: $\lim\limits_{0}T_g$ existe et vaut $\displaystyle\frac{1}{3}$.
Nous avons, pour tout $x>0$:
$$f(x) = \left(x^3+x\right)^{1/3}-x = x\left(\left(1+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)^{1/3}-1\right) = \displaystyle\frac{1}{x}T_g\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)$$
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$ et $\lim\limits_{0}T_g=\displaystyle\frac{1}{3}$, par composition: $\lim\limits_{x\to +\infty}T_g\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{3}$.
Je te laisse terminer le raisonnement permettant d'en déduire l'équivalent souhaité !
tu connais l'identité remarquable de degré 3 : $a - b =\frac{a^3 - b^3}{a^2 + a.b + b^2}$
tu l'appliques ici : $$(x^3 + x)^{\frac{1}{3}} - x = \frac{x^3 + x - x^3}{(x^3 + x)^{\frac{2}{3}} + x(x^3 + x)^{\frac{1}{3}} + x^2}$$
tu trouves un équivalent asymptotique égal à $\frac{x}{x^2 + x^2 + x^2}$ soit en divisant par x : $\frac{1}{3x}$
la forme indéterminée infini sur infini est levée et l'expression initiale pour x infini tend vers 0 comme $\frac{1}{3x}$
cordialement
Entre temps j’ai remarqué qu’il y avait une limite standard $\dfrac{{{e}^{f( x )}}-1}{f( x )}\to 1$ pour $x\to 0$
Donc j’ai réécrit $f( x )$ comme $\displaystyle \sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}-x=x{{\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{{{x}^{2}} \frac{1}{3{{x}^{2}}}}}-x\sim \bigg(\frac{x\big( {{e}^{\frac{1}{3{{x}^{2}}}}}-1 \big)}{^{\frac{1}{3{{x}^{2}}}}}\bigg)^{\frac{1}{3{{x}^{2}}}}=x.1.\frac{1}{3{{x}^{2}}}=\frac{1}{3x}$
L'exercice se résout facilement en se souvenant (sans utiliser un quelconque développement limité) que
$ (1+x)^\alpha -1 $ est équivalent à $\alpha x$ au voisinage de $0$ pour $\alpha \neq 0$
Fait un changement de variable pour te retrouver dans un voisinage de zero et applique les propriétés des équivalents.
D'ailleurs ce qu'a écrit noobey n'est pas un développement limité mais bien un développement asymptotique.