Développement asymptotique

Voila mes calculs.

On a pour tout $n$ $\in \mathbb{N}$, $x_n = \tan(x_n)$, donc,
\begin{align*}
\tan(x_n) &= \tan(n \pi +\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n \pi} + \dfrac{\varepsilon_n}{n})\\
&= \tan( \dfrac{\pi}{2} - (\dfrac{1}{n \pi} - \dfrac{\varepsilon_n}{n}))\\
&= \dfrac{1}{\tan(\dfrac{1}{n \pi} - \dfrac{\varepsilon_n}{n})}\\
&= \dfrac{1}{\dfrac{1}{n \pi} - \dfrac{\varepsilon_n}{n}} + \dfrac{1}{3} (\dfrac{1}{n \pi} - \dfrac{\varepsilon_n}{n}) + o(\dfrac{\varepsilon_n}{n})\\

\end{align*} En injectant dans la relation de départ, j’obtiens : $n \pi +\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{n \pi} + \dfrac{\varepsilon_n}{n} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{n \pi} - \dfrac{\varepsilon_n}{n}} + \dfrac{1}{3} (\dfrac{1}{n \pi} - \dfrac{\varepsilon_n}{n}) + o(\dfrac{\varepsilon_n}{n})$
J'ai du faire une erreur quelque part, le membre de gauche est de la forme $ n \pi + \dfrac{\pi}{2} + o(1)$ alors que le membre de droite est de la forme $ n \pi + o(1)$.

J'ai repris mes calculs, mais je ne trouve pas l'erreur.

Merci, j'ai saisi mon erreur, je suis parvenu à répondre à la question.