Somme d'une série de fonctions

Marcobad · August 2019

Bonsoir.
Je suis nouveau sur ce forum. Je serais heureux de bénéficier d'une lumière pour m'aider à résoudre deux questions sur lesquelles je sèche depuis un bon moment:

- dans un premier exercice on considère une suite décroissante (A_n) de réels positifs et on me demande de montrer que la série de fonctions de terme général A_n.xⁿ.(1-x) converge uniformément sur l'intervalle fermé [0;1] si et seulement si la suite (A_n) a pour limite 0. Si on suppose que la suite (A_n) converge vers 0, il est relativement facile de montrer que la série considérée converge uniformément sur [0;1]. Pour la réciproque, je sèche lamentablement (j'en viens même à me demander si la propriété est vraie !).

- Dans un second exercice totalement indépendant, on me demande de déterminer la somme de la série de fonctions de terme général x/(x+n²), x supérieur ou égal à 0. Je ne fais pas mieux !

Merci pour toute indication de solution.
Cordialement.

gebrane · August 2019

Pour calculer la somme $\sum \frac 1{a^2+n^2},\forall a>0$
Applique la transformée de Fourier et la formule sommatoire de Poisson à $f(x)= \frac 1{a^2+x^2}$

jandri · August 2019

Pour la réciproque du 1) on montre que si $A_n\geq a>0$ alors la norme infinie du reste est minorée par $a$.

jean lismonde · August 2019

Bonjour
Pour déterminer la fonction $f(x)$ dont le développement en série est $\sum\dfrac{x}{x^2 + n^2}$ avec $x > 0$
tu peux utiliser la produit eulérien : $$\frac{\sin(\pi.x)}{\pi.x} = \Big(1 - x^2\Big)\Big(1 - \frac{x^2}{2^2}\Big)\cdots\Big(1 - \frac{x^2}{n^2}\Big)\ldots.

$$ Tu passes aux logarithmes, tu dérives par rapport à $x$, et tu passes aux complexes (tu débouches sur les fonctions hyperboliques), il vient : $$

\sum_{n}\frac{x}{x^2 + n^2} = \frac{\pi}{2\tanh(\pi.x)},

$$ avec $\tanh(x)$ fonction tangente hyperbolique de $x$.
Cordialement

Marcobad · August 2019

Merci Jandri pour ton conseil. J'ai majoré le reste de la série(qui est fonction de x) par l.x^(n+1), où l est la limite de la suite (A_n), et on choisit x = 1; le résultat en découle.

Merci Jean lismonde pour ta réponse, mais le terme général de la série considérée est x/(x+n^2) et non x/(x^2+n^2).

Merci Gébrane. Ton indication ne me parle pas beaucoup. L'exercice est proposé dans un cours de L3. N'y a-t-il pas plus simple ?
Bonne soirée à tous.

gebrane · August 2019

Ok pour mon indication hors niveau
Qu'est ce qui te dérangé dans la méthode de J-L ( je n'ai pas regardé les details) tu pose $a=x^2$ et donc d'apres J-L
$$\sum_{n}\frac{a}{a + n^2} = \frac{\sqrt a \pi}{2\tanh(\pi.\sqrt a)},$$

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