Fourier, question simple
Bonjour
a) Si $f$ est continue (et $2\pi$-périodique), alors $\sigma_n$ tend uniformément vers $f$.
b) Si elle a quelques points de discontinuité (un nombre fini ?) alors pour tout $x$, $\sigma_n(x)$ tend vers $\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$
Je n'arrive pas à voir clairement si dans le cas b), la convergence est uniforme. Ça paraît pourtant simple ?
[Même dans le titre Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]
a) Si $f$ est continue (et $2\pi$-périodique), alors $\sigma_n$ tend uniformément vers $f$.
b) Si elle a quelques points de discontinuité (un nombre fini ?) alors pour tout $x$, $\sigma_n(x)$ tend vers $\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$
Je n'arrive pas à voir clairement si dans le cas b), la convergence est uniforme. Ça paraît pourtant simple ?
[Même dans le titre Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Dans $L^2$ la fonction $h$ qui vaut $1$ pour $x$ rationnel et $0$ sinon est égale à la fonction nulle, donc dans $L^2$, $h$ est constante continue $C^\infty$..
Pourquoi ?
Sans réfléchir : $$\int_I f^2 = \int_I g^2 $$ pour tout intervalle $I$ ?
$\|f\| = \sqrt{\int_0^{2\pi} |f(x)|^2dx}$ est une norme c'est pour ça que ça fait sens de définir la complétion des fonctions continues pour la norme $L^2$, c'est-à-dire les limites de suites de fonctions continues qui sont Cauchy pour $\|.\|$
(similaire à lorsqu'on complète $\Q$ pour $|.|$ afin d'obtenir $\R$)
> f=g pp
Pour le complété de $\Q$ c'est une valeur absolue que tu as écrite je suppose ?
@gebrane : pp = ??
presque partout en francais
Je ne comprends pas pourquoi reun a compliqué l'explication
L’égalité dans les L^p c'est l’égalité au sens presque partout .point!
Tu as écris
C'est plutôt $f = g$ dans $L^2([0,2\pi])$ ssi
$\|f-g\|^2 = \int_0^{2\pi} |f(x)-g(x)|^2dx = 0$
ce qui implique f-g=0 pp non?
Je rappelle : Soit f une fonction mesurable positive sur A.
Si son intégrale est nulle sur A, alors la fonction f est nulle presque partout sur A.
ai-je tort ou raison ?