Puissance réelle

C’est-à-dire, manipuler ?

On a par exemple pour $u$ positif et $\gamma$ réel : $u^{\gamma}=e^{\gamma \ln (u)}$.

« fonction définie positive » ?

Je trouve cela obscure de nouveau.

Ce n’est pas l’expression qui changera le caractère (semi-)défini ou positif de la fonction.
Si elle l’est, alors elle l’est quelle que soit la manière de l’écrire.

Peut-on avoir un énoncé rigoureux ?

Notons $f(x,y)=x^\alpha-y^\alpha$. J'écarte le cas $\alpha=0$ sans quoi $f(x,y)=1-1=0$ et il n'y a pas grand chose à dire.

Fixons $y>0$ arbitraire. Comme $\alpha$ est non nul, la fonction $x\mapsto f(x,y)$ est strictement monotone, et comme elle est nulle lorsque $x=y$, elle prend des valeurs strictement négatives et strictement positives.

De ce fait, à moins que $b$ ne soit un entier (et positif car $f(y,y)=0$), ton expression n'aura pas de sens pour toutes valeurs strictement positives de $x$ et de $y$.

Il faut donc aussi supposer $b \in \N$ pour pouvoir espérer travailler.

Mais je suis d'accord avec Dom, défini positif n'a pas de sens en toute généralités pour une fonction, il nous faudrait donc un énoncé précis.

Peut-être la question est "à quelle condition sur les paramètres la fonction ainsi définie est UNE FORME QUADRATIQUE semi-définie positive ?"

Si la question est cela, j'essaierais déjà de me convaincre que l'expression n'a un sens pour tous couples de réels $x$ et $y$ que si $\alpha$ et $b$ sont entiers positifs, puis en utilisant l'aspect quadratique on trouve que $\alpha b=2$ ce qui ne laisse plus beaucoup de possibilités. Parmi les deux qui me semblent exister, une seule donne une f.q. s.d.p.

La question de gerard0 est importante, pour quels $x_i$ imposes tu la condition? Est-ce pour tous $x_i $ réels? Mais alors quel sens a $ x_i^{\alpha}$ si $\alpha$ n'est pas un entier ? Ou te restreins-tu aux $x_i\geq 0$ ? De plus, que veut dire $(x_i-x_j)^b$ si $b$ ,n'est pas entier ? Bref, c'est le bazar. On va donc supposer $\alpha=1. $ et que tu exiges les choses pour tous $x_i$ réels et non seulement positifs.

Une fonction $f$ réelle (pour simplifier) d'une seule variable définie sur tout $\R$ est dite définie- positive si pour tous $x_i$ réels la matrice $(f(x_i-x_j))$ est semi-définie positive. Il est bien clair que $f(x)=|x|^b$ ne peut être définie positive puisque la diagonale de $(f(x_i-x_j))$ est nulle. Quant à chercher une constante $C$ telle que $f(x)=C+|x|^b$ soit definie-positive c'est sans espoir également, prends $x_1,\neq x_2$.

En revanche il existe une notion voisine qui est celle de fonctions dites définies négatives, qui demandent que la matrice $(f(x_i+f(x_j)-f(x_i-x_j))$ soit semi-définie positive, une condition équivalente au fait que $x\mapsto e^{-tf(x)}$ soit définie positive pour tout $t>0.$ Alors c'est un théorème connu que $f(x)=|x|^b$ est définie negative si et seulement si $0<b\leq 2.$

Si on restreint la condition sur les $x_i$ en leur imposant de rester dans une demi- droite ou un intervalle borné, cela a été étudié dans les années 1970 je ne sais où.