Linéarisation de $f( x + f(x)/2 )$

Il faudrait en savoir un peu plus.
1/ sur $f$.
2/ au voisinage de quoi on calcule le développement limité.

e.v.

Bonjour.

"J'aimerais pouvoir écrire f( x + f(x)/2 ) au voisinage de f(x)=0."

C'est mal parti, tu utilises la même lettre pour deux choses différentes : une variable (dans "écrire f( x + f(x)/2 )") et une constante (dans "au voisinage de f(x)=0").
la première chose est de poser correctement le problème : Tu as une fonction f qui s'annule pour une certains valeur de x, disons a (sinon, ta question n'a plus de sens) : f(a)=0. Et tu veux développer f( x + f(x)/2 ) au voisinage de a.

Si f est suffisamment régulière, elle a un DL à l'ordre (ce que tu veux, ce que tu peux) en a qui est
f(x)=(x-a) f'(a) + ...
Ou bien f(a+h) = h f'(a) + ...
Et comme f(x)/2 tend vers 0 quand x tend vers a, on peut remplacer h par f(x)/2 (attention, le terme correctif dépend très fortement de la façon dont f(x) tend vers 0 au voisinage de a).

Cordialement.