Convolution Schwartz$+L^p$

Smith
Smith
dans Analyse
Bonjour,

Soient $f,g$ deux fonctions dans l'espace de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ( c'est-à-dire l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées).
Un théorème dit qu'il est stable par convolution.

Je me demandais ce qu'on pouvait faire avec $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ et cette fois $g\in L^p,\;\; p\in[1,\infty]$ qui n'est pas à décroissance rapide ni ses dérivées.

Existe-t-il des conditions sur $g$ pour que ça puisse fonctionner ? Ou sur les dérivées de $g$?

Un tel exemple d'une fonction $g$ est ( sauf erreur)
$$x\mapsto \frac{1}{1+\vert x\vert ^\alpha},\;\; \alpha>1.$$

Réponses

  • Tryss
    Tryss
    Qu'est-ce que tu appelles "pouvoir faire" ou "fonctionner"? Si c'est "a quelle condition la convolution de $f\in \mathcal S$ et $g\in L^p$ existe-t-elle ?", la réponse est "c'est toujours possible".

    $(f\ast g)(x) = \int_\mathbb{R} f(x-t)g(t) dt$

    L'inégalité de Hölder te donnant $|(f\ast g)(x)|\leq \|f\|_q\|g\|_p$, et comme $f\in \mathcal S$, $\|f\|_q$ est finie,$(f\ast g)(x)$ est bien défini.

    Si ta question est autre, précise là.
  • Smith
    Smith
    Tryss, je parle de la stabilité par convolution.

    Est-ce qu'on peut avoir $f*g\in\mathcal{S}$ avec les hypothèses dans mon premier message. Par exemple en prenant $g$ comme dans mon exemple ?

    Ce n'est pas très «précis» oui mais je cherche juste à savoir ce qu'on peut faire. Merci.
  • reuns
    reuns
    Si $g \ge 0$ alors $\forall f \in S, f \ast g \in S$ ssi $G(a) = \int_{|x| > a} g(x)dx$ est à décroissance rapide

    Si $g$ change de signe alors il faut que $G(a) =\lim_{T \to \infty} \int_{a < |x| < T} g(x)dx$ soit à décroissance rapide (par exemple $g(x) = \sin(e^{|x|})$ marche)
  • gebrane
    gebrane
    @Smith
    Tu as donné un bon contre exemple de $S(R)*L^p(R)\subset S(R)$
    Ta fonction g (edit $g(x)=\frac 1{(1+|x|)^{\alpha}}$) est bien dans $L^p(R)$ si $\alpha >\frac 1p$. Soit $f \in D(R)$ positive avec $Supp f\subset [-1,1] $ et $\int_{\R} f=1$, tu as bien $f\in S(R)$
    Tu peux voir que $$|(f\star g)(x)| \ge \frac 1{(2+|x|)^{\alpha}}$$ ce qui montre que $f\star g$ n'est pas dans $S(R)$
    Le 😄 Farceur


  • Smith
    Smith
    Merci gebrane, effectivement avec n'importe quel $f$ ça ne va pas fonctionner.

    Merci Reuns pour ces deux propositions. J'ai tenté de prouver la première sans succès. Peux-tu développer?
  • reuns
    reuns
    Si $g$ est à décroissance rapide et $f$ est Schwartz alors $(f \ast g)^{(n)} = f^{(n)}\ast g$ est à décroissance rapide donc $f \ast g$ est Schwartz

    Si on prend $g = \sum_{n=1}^\infty n 1_{x \in [n,n+e^{-n}]}$ alors elle n'est pas à décroissance rapide mais on a toujours $f \ast g$ Schwartz parce que $ \int_{|x| > |y|} |g(x)|dx$ est à décroissance rapide et que $$|\int_{\R} f(y-x) g(x)dx |\le \|f\|_\infty \int_{|x| > |y|/2} |g(x)|dx + \|g\|_{L^1} \sup_{|x| < |y|/2} |f(y-x)|$$
    les deux termes étant à décroissance rapide.

    Si $g \ge 0$ on prend $f \in C^\infty_c(\R), f \ge 0$, si $g \ast f$ est Schwartz alors $\int_{-\infty}^y g \ast f(x)dx = g \ast f \ast 1_{x > 0} (y)$ est à décroissance rapide (quand $y \to - \infty$) ce qui implique que $g \ast 1_{x > 0}$ est à décroissance rapide
  • gebrane
    gebrane
    Smith écrivait:
    effectivement avec n'importe quel $f$ ça ne va pas fonctionner.


    Smith , et si f intégrable à support compact ?
    Le 😄 Farceur


  • Smith
    Smith
    Merci reuns, si je comprends bien c'est ton inégalité qui donne la réciproque mais pourquoi prendre $g = \sum_{n=1}^\infty n 1_{x \in [n,n+e^{-n}]}$ ? Pour donner un exemple?

    Ensuite si je comprends bien le caractère $C^\infty$ de la convolution à tous les ordres il suffit que $f$ le soit.

    Je vais travailler ta réponse. Elle est dense.

    Pas compris gebrane tu as donné toi même un contre exemple?!
  • reuns
    reuns
    Est-ce que tu sais montrer que $\int_a^b f' \ast g(x)dx = f \ast g(b)-f \ast g(a)$ quand tout est bien défini et converge absolument ? Par exemple en commençant avec le cas où $g \in L^1$ et où $f$ est $C^\infty$ et nulle en dehors de $[c,d]$ ?

    Avec le fait que $f \ast g$ et $f' \ast g$ sont continues cela implique que $f' \ast g = (f \ast g)'$.
  • gebrane
    gebrane
    Smith
    j'ai donné un contre à l'assertion
    intégrable*Schwartz ---->Schwartz

    la question que je te pose maintenant à démontrer
    (intégrable et à support compact)*Schwartz ---->Schwartz

    [Laurent Schwartz (1915-2002) mérite le respect de son patronyme. AD]
    Le 😄 Farceur


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