Intégrer une forme différentielle
Salut à tous,
On considère la forme différentielle $$ \alpha=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}.
$$ Je voudrais montrer que: $\ \int_c \alpha =2\pi, \ $ où $c$ est la courbe paramétrée $c: [0, 2\pi] \to \mathbb \R^2\setminus\{0\}$; définie par $c(t)=(\cos t,\, \sin t)$.
On a $\alpha_1=\dfrac{-y}{x^2+y^2},\ \alpha_2=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$ sont les composantes de $\alpha,\ $ $c^1(t)=\cos t,\ c^2(t)=\sin t$ sont les composantes de $c(t)$ et $c^{1'}(t)=\cos t,\ c^{2'}(t)=\sin t$ sont les composantes de $c'(t)$. Donc $$
\int_c \alpha = \int_{0}^{2\pi} \sum_{i=1}^{2} \alpha_i (c^i (t)) \, c^{i'}(t) \, dt = \dots\quad ??
$$ Je crois que je n'ai pas compris la notation $ \alpha_i (c^i (t)) \, c^{i'}(t) $ !!
Merci d'avance.
On considère la forme différentielle $$ \alpha=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}.
$$ Je voudrais montrer que: $\ \int_c \alpha =2\pi, \ $ où $c$ est la courbe paramétrée $c: [0, 2\pi] \to \mathbb \R^2\setminus\{0\}$; définie par $c(t)=(\cos t,\, \sin t)$.
On a $\alpha_1=\dfrac{-y}{x^2+y^2},\ \alpha_2=\dfrac{-y}{x^2+y^2}$ sont les composantes de $\alpha,\ $ $c^1(t)=\cos t,\ c^2(t)=\sin t$ sont les composantes de $c(t)$ et $c^{1'}(t)=\cos t,\ c^{2'}(t)=\sin t$ sont les composantes de $c'(t)$. Donc $$
\int_c \alpha = \int_{0}^{2\pi} \sum_{i=1}^{2} \alpha_i (c^i (t)) \, c^{i'}(t) \, dt = \dots\quad ??
$$ Je crois que je n'ai pas compris la notation $ \alpha_i (c^i (t)) \, c^{i'}(t) $ !!
Merci d'avance.
Réponses
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$$\alpha= f_1(x)dx_1+ f_2(x)dx_2,\qquad f_1(x) = \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2},f_2(x) = \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}$$ $$\int_c \alpha \overset{def}= \int_0^{2\pi} f_1(c(t))dc(t)_1+f_2(c(t))dc(t)_2 = \int_0^{2\pi} \frac{-\sin(t)}{\cos(t)^2+\sin(t)^2} \cos'(t)dt+\frac{\cos(t)}{\cos(t)^2+\sin(t)^2} \sin'(t)dt$$
En gros l'idée c'est que pour deux fonctions $f,g$ définies sur l'intervalle $[A,B]$ alors $\int_{[A,B]} f dg$ est bien définie comme intégrale de Stieltjes, on peut reparamétrer l'intervalle d'intégration comme on veut ça restera la même intégrale de Stieljes, et cette idée s'étend naturellement pour les intégrales le long d'une courbe ou sur une surface. -
Zakariyae écrivait:
> $c^1(t)=\cos t, c^2(t)=\sin t$ sont les composantes de $c(t)$ et
> $c^{1'}(t)=\cos t,c^{2'}(t)=\sin t$ sont les composantes de $c'(t)$.
Non, absolument pas. Les notations sont affreuses et ne facilitent pas la compréhension.
$c(t)=(\cos(t),\sin(t))$ est une paramétrisation du cercle, et $c'(t)=(-\sin(t),\cos(t))$ est la dérivée de cette paramétrisation (le vecteur vitesse, si tu as une interprétation cinématique).
Si $x=\cos(t)$ et $y=\sin(t)$, alors $dx=-\sin(t)\,dt$ et $dy=\cos(t)\,dt$.
Le $c^{i'}$ est une notation affreuse pour la dérivée de $c^i$. Quelle idée aussi de mettre les indices en exposants ? -
@reuns merci pour votre réponse.
@GaBuZoMeu, c'est une notation donnée dans le livre de Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, p.163, pour définir l'intégrale d'une forme différentielle $\alpha$:
$$\int_c \alpha = \int_{I} \sum_{i=1}^n \alpha_i (c^i (t)) \, c^{'i}(t) \, dt = \int_{I} \alpha_{c(t)} . c'(t) dt.$$ -
Bonjour,
Ce qui précède montre que la forme différentielle
$$\alpha=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$$
n'est pas exacte. Cependant, cette forme est fermée sur $\R^2\setminus\{0\}$. Si on veut vérifier ca, on doit montrer que $d\alpha=0$.
Mais si on a par exemple $\beta= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy$ que vaut sa différentielle $d\beta$ ?
Merci d'avance -
$$d\beta=\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy$$
-
Merci xax. Ayant peu de connexion je change juste pragmatiquement de sujet pour aider un etudia t car j'ai eu le récent privilège de souffrir avant lui sur sa thématique. Il y aurait d'ailleurs bcp à dire sur le cryptage des notations intégrales et diffère tielles. Mais je n'aime pas critiquer sans proposer donc je m'en tiens w la.
Je réagis à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1845386,1845446#msg-1845446
si quelqu'un veut bien transmettre à zaka.
Dériver Pdx +Qdy c'est AVANT TOUT "dériver des trucs" (ici un produit tensoriel qui sera QUOTIENTE ENSUITE POUR virer les choses plates (non volumineuses).
Ça donne donc :
P_1 dx dx + P_2 dx dy + Q_1 dx dy + Q_2 dy dy
Et rien d'autre.
Faire dx dx := dy dy := 0 EDT UNE AUTRE DEMARCHE très très différente qui si elle n'est pas bien séparée du reste rend TRES TRES TRES OBSCUR le sujet "formes différentielles"
J'en sais quelque chose pour n'avoir finalement reçu des explications convergentes que très récemment et c'était douloureux.
La VOLONTÉ ne nous mentons pas, de faire disparaitre les a tenseur a n'a rien d'intentionnellement prévisible. Elle résulte du fait de.vouloir virer les parois des hypertrucs au titre qu'elles ne changent pas le volume.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et dans le fil Philippe à évidemment répondu :
P_2 dydx + Q_1dxdy
Mais ça c'est l'aboutissement final attention. On utilise trois mises à zéros d'ailleurs pour atteindre Philippe là je viens juste d'économiser la mise à zéro de (dx+dy)(dx+dy).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pardon 5, pas 3. Car il y a aussi d(dz)=0 pour tout z.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Il faut écrire les détails et les régles de calcul formel pour obtenir $d(P(x,y)dx+ Q(x,y)dy) =\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy$ sinon on ne comprend rien
et savoir définir l'intégrale $\iint_S f d g \wedge dh$ pour une surface orientée $S$ -
$\wedge$ est associatif et anti-commutatif $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ (donc $dx\wedge dx=0$)
et $C^\infty(\R^n)$-linéaire $ f d x \wedge (gdy+hdz) = fg\ (dx \wedge dy)+fh\ (dx \wedge dz)$ (on parle du $C^\infty(\R^n)$-module des formes différentielles sur $\R^n$)
$x,y,z$ ne sont pas des variables, ce sont des fonctions, possiblement les fonctions identité des coordonnées, mais il faut les penser comme des fonctions $\R^n \to \C$
enfin $d (f dg_1 \wedge \ldots \wedge dg_n) = df \wedge dg_1 \wedge \ldots \wedge dg_n$
et si $f = F(x_1,\ldots,x_K)$ (se lit : $f$ ne dépend que des fonctions $x_1,\ldots,x_K$) alors $df = \sum_{k=1}^K \frac{\partial F}{\partial x_k} dx_k$
Une fois ces règles de calcul formel établies il faut voir en quoi ce sont les bonnes règles pour les intégrales sur des surfaces-volumes et les règle de changement de variable correspondant, notamment l'idée que pour une matrice $M \in GL_n(\R)$, $d^n(Mv) = \det(M) d^n v$ (où $v \in \R^n$ et $d^n v$ est un symbole pour $dv_1 \wedge \ldots \wedge dv_n$) et l'intégrale de Stieltjes pour les volumes $\int_{[0,1]^n} f dg_1 \wedge \ldots \wedge dg_n = \lim_{N \to \infty} \ldots$
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Bonjour!
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