Produit de séries convergentes

Adaq
Adaq
dans Analyse
Bonjour
Excusez-moi pour ce titre peu précis, je ne sais pas vraiment comment qualifier ma question.

Soit $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ qui converge absolument et $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ qui converge (pas absolument). Que peut-on dire de la convergence de $$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nb_n.
$$ Converge absolument ?
Converge, mais pas forcément absolument ?
Diverge ?
Merci beaucoup !

Réponses

  • P.
    P.
    Convergence absolument bien sûr puisque $b_n\to 0.$
  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Dans ce genre de chose, un mot clef est « transformation d’Abel ».
    Un poly ici, la partie 2.3 est dans le sujet : https://www.math.univ-toulouse.fr/~roche/enseignement/A12_13/math/polyL2S3-v2.chap2.pdf

    P., que je salue, dit qu’à partir d’un certain rang : $|ab|\leq |a|$.
  • Adaq
    Adaq
    Oui je comprends, merci à vous deux
    Bonne journée.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour,
    attention au vocabulaire : tu parles de la série dont le terme général est constitué du produit des deux termes généraux des séries évoquées.
    Cette nouvelle série converge en effet mais pas forcément absolument.

    Exemple : avec $a_n = \frac{1}{n^2}$ et $b_n = (-1)^n.n$
    la nouvelle série de terme général $a_n.b_n = (-1)^n\frac{1}{n}$ converge mais pas absolument.
    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Attention Jean,

    Par hypothèse, on suppose que la série des $a_n$ est absolument convergente et que la série des $b_n$ est convergente.
    Ainsi ta proposition ne convient pas.

    Cordialement
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