Norme d'opérateur

Bonjour,

$E,F$ étant des evn (pour simplifier, on notera $|x|$ pour la norme d'un vecteur $x$, en gardant à l'esprit qu'il s'agit de normes (éventuellement) différentes sur des espaces (éventuellement) différents). On considère l'espace vectoriel $\mathcal{L}(E,F)$ des applications linéaires continues de $E$ dans $F$ (toutes si on est en dimension finie). Pour $f\in \mathcal{L}(E,F)$, on pose $$||f||=\sup_{x\in E, |x|=1}|f(x)|$$
Pour que cette définition ait un sens, il est nécessaire de voir que $f$ est bornée sur la sphère unité $S$ de $E$ , i.e que la partie (non vide) $$A=\{|f(x)|~|~x\in E~,~|x|=1 \}\subset\mathbb{R}$$
est bornée (majorée suffit). Or il se fait que cette partie est l'image de la sphère unité $S$ par l'application $\varphi = |\cdot|_F\circ f : E \longrightarrow\mathbb{R}$. C'est une application continue ! Mais comme la sphère unité de $E$ n'est pas toujours compacte, on ne peut pas en déduire que $A$ est compacte (donc bornée)!

J'ai plusieurs questions autour de cette définition mais je vais commencer par ne poster que celle-ci : comment fait-on pour voir que $A$ est bornée (par $||f||$....)?