Équation différentielle

Bonjour,
Je rame sur cet exercice, quelqu'un pourrait me donner un coup de pouce et vérifier mes résultats s'ils sont corrects.
Merci d'avance.

On envisage l'équation différentielle sur $\mathbb{R}$ : $$
y'= \sqrt{x^2+y^2}.
$$ On va montrer l'existence et l'unicité de la solution nulle en 0 de cette équation (cette solution n'est pas expérimentable à l'aide des fonctions élémentaires).
1. Une inégalité élémentaire. L'utilisation de la distance dans le plan permet de prouver l'inégalité : $$
\forall a,b,c \in \mathbb{R}_+,~c \geq b,\quad \sqrt{a^2+c^2}- \sqrt{a^2+b^2} \leq c-b.
$$ a) Expliquer comment ?
b) Obtenir brièvement ce résultat sans recourir à la géométrie.
2. Existence de la solution nulle en 0.
On définit la suite $(f_n)$ de fonctions sur $\mathbb{R}_+$ par $f_0(x)=0$, et $f_n(x)=\int_0^x \sqrt{t^2+f^2_{n-1}(t)} dt$
a_1) Montrer que chaque $f_n$ ainsi définie est une suite de fonction de classe $C^1(\mathbb{R}_+)$ et nulle en 0
a_2) strictement croissante si $n\geq 1$ (je trouve, $f_{n}-f_{n-1}= \int_0^x (f_{n-1}-f_{n-2}) dt > 0$ car $x\geq 0$, donc $f_n$ est croissante.
a_3) Calculer $f_1(x)$. Je trouve: $f_1(x)= \int_0^x |t| dt=\int_0^x t dt ~(car ~ x\geq 0)$ donc $f_1(x)= \frac{x^2}{2}$
a_4) Montrer qu'on a, pour $n \geq 1:$ $0 \leq f_n(x)-f_{n-1}(x) \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $ $\forall x \in\mathbb{R}_+ $