Convergence série L^2

Si $f_n\to 0$ au sens $L^2$ il est faux que $f_n(x)\to 0$ presque partout. Ainsi si $a$ est irrationnel et si $0<a_n<1$ est $na$ modulo 1 soit $A_n=[a_n,a_{n+1}]$ quand $0<a_n<a_{n+1}$ et $A_n=[0,a_{n+1}]\cup[a_n,1]$ sinon. Alors $f_n=1_{A_n}/n$ est un contre exemple.

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@gebrane Tu sais bien que j'aime les discussions c'est juste que dire que "un moyen simple de voir si $f=g$ dans $L^p$ c'est si $f \in L^p$ et $f =g$ presque partout" c'est ce qu'il faut dire à une personne qui a déjà compris comment marche $L^p$ et l'intégrale de Lebesgue, et c'est valable que si tu considères $L^p$ comme un espace de classes d'équivalences de fonctions, mais pas si tu le vois comme un espace métrique où ce qui nous intéresse c'est le voisinage de $f$ et si $f_n \to f$ (parce que en vrai, en analyse, on considère systématiquement des suites de fonctions continues (ou à la rigueur continues par morceau), jamais des trucs styles $f= 1_{x \in \Q}$)

J'en profite pour dire que le théorème de convergence dominée ne sert presque à rien en analyse (je ne sais même pas pourquoi il est enseigné)

@reuns
Donc le théorème de convergence dominée ne sert presque à rien en analyse.
Comment démontres tu à moindre frais que la transformée de Fourier d'une fonction $L^1(\R)$ est continue sur $\R$ ?
Dans le fichier joint, je te donne les principaux théorèmes de l’intégration, dit moi lequel lesquels qui sont inutiles