Bonjour,
Soient $(f_n)$ une suite d'éléments de $L^2([0,1])$ telle que la série $\sum_{n \geq 0} f_n$ converge dans $L^2([0,1])$. On note $f$ sa somme. Rassurez-moi, on a bien $$
f=\sum_{n=0}^{+\infty} f_n
$$ presque partout ou il y a un piège ?
Merci.
Réponses
La réciproque c'est la convergence dominée : si $g_n$ converge presque partout et qu'il existe $h \in L^p$ telle que $\forall n$, $|g_n(x)| \le h(x)$ presque partout alors $g_n$ converge dans $L^p$ vers la fonction définie presque partout par $g(x) = \lim g_n(x)$
Par definition la série converge dans L^2 si la suite de fonctions $x\to S_n(x)$ ( formée des sommes partielles) converge dans L^2 vers un $S$. on ne peut pas conclure la convergence presque partout de la suite $S_n$ mais seulement d'une suite extraite et dans ce cas la suite extraite vérifie l’égalité $S=\sum_{k=0}^{+\infty} f_{n_k}$ presque partout.
Est ce clair, juste ou faux:-D ?
J'en profite pour dire que le théorème de convergence dominée ne sert presque à rien en analyse (je ne sais même pas pourquoi il est enseigné)
Donc le théorème de convergence dominée ne sert presque à rien en analyse.
Comment démontres tu à moindre frais que la transformée de Fourier d'une fonction $L^1(\R)$ est continue sur $\R$ ?
Dans le fichier joint, je te donne les principaux théorèmes de l’intégration, dit moi lequel lesquels qui sont inutiles