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Convergence série L^2

Envoyé par Agial 
Convergence série L^2
il y a deux mois
Bonjour,
Soient $(f_n)$ une suite d'éléments de $L^2([0,1])$ telle que la série $\sum_{n \geq 0} f_n$ converge dans $L^2([0,1])$. On note $f$ sa somme. Rassurez-moi, on a bien $$

f=\sum_{n=0}^{+\infty} f_n

$$ presque partout ou il y a un piège ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
Essaye $$\sum_{n \le N} f_n = 1_{x \in [\ln n, \ln n + \frac2n] \bmod\ \Bbb{Z}}$$

La réciproque c'est la convergence dominée : si $g_n$ converge presque partout et qu'il existe $h \in L^p$ telle que $\forall n$, $|g_n(x)| \le h(x)$ presque partout alors $g_n$ converge dans $L^p$ vers la fonction définie presque partout par $g(x) = \lim g_n(x)$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par reuns.
P.
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
Si $f_n\to 0$ au sens $L^2$ il est faux que $f_n(x)\to 0$ presque partout. Ainsi si $a$ est irrationnel et si $0<a_n<1$ est $na$ modulo 1 soit $A_n=[a_n,a_{n+1}]$ quand $0<a_n<a_{n+1}$ et $A_n=[0,a_{n+1}]\cup[a_n,1]$ sinon. Alors $f_n=1_{A_n}/n$ est un contre exemple.
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
avatar
Le piège c'est que c'est vrai pour une sous-suite. Si $S_n$ converge dans $L^2$, alors on peut en extraire une sous-suite qui converge presque partout.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
Bonjour,

Je ne comprends pas les différentes réponses.
Si $f=g$ dans $L^2$ ça entraîne $||f-g||_{L^2}=0$ et donc $f=g$ presque partout.
Peu importe que $g$ soit la limite $L^2$ d'une suite. Et le fait de dire $f=g$ pp, ne dit rien sur la convergence simple où pas, dans le cas où $g$ est limite dans $L^2$ d'une série.

A moins que quelque chose m'échappe...
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
avatar
Bonjour side, la question était si $f=\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$.

Par definition la série converge dans L^2 si la suite de fonctions $x\to S_n(x)$ ( formée des sommes partielles) converge dans L^2 vers un $S$. on ne peut pas conclure la convergence presque partout de la suite $S_n$ mais seulement d'une suite extraite et dans ce cas la suite extraite vérifie l’égalité $S=\sum_{k=0}^{+\infty} f_{n_k}$ presque partout.

Est ce clair, juste ou fauxgrinning smiley ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
merci @Gebrane

je ne comprends pas la question de la même façon.

Je ne remets nullement en question tout ce qui a été posté (sauf une coquille dans ton post, il ne s'agit pas d'une somme de $f_{n_k}$ mais de la limite d'une suite extraite des sommes partielles). C'est juste que je pense que ça ne répond pas à la question (qui telle que je la comprends est : si on a $f=g$ dans $L^2$ a-t-on $f=g$ presque partout ?).
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
avatar
Merci d'avoir corrigé la coquille et pour ta question si on a $f=g$ dans $L^2$ a-t-on $f=g$ presque partout ?). affirmatif et j'ai eu une discussion avec reuns à ce sujet mais Hellas il n'aime pas les discussions ! [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
@gebrane Tu sais bien que j'aime les discussions c'est juste que dire que "un moyen simple de voir si $f=g$ dans $L^p$ c'est si $f \in L^p$ et $f =g$ presque partout" c'est ce qu'il faut dire à une personne qui a déjà compris comment marche $L^p$ et l'intégrale de Lebesgue, et c'est valable que si tu considères $L^p$ comme un espace de classes d'équivalences de fonctions, mais pas si tu le vois comme un espace métrique où ce qui nous intéresse c'est le voisinage de $f$ et si $f_n \to f$ (parce que en vrai, en analyse, on considère systématiquement des suites de fonctions continues (ou à la rigueur continues par morceau), jamais des trucs styles $f= 1_{x \in \Q}$)

J'en profite pour dire que le théorème de convergence dominée ne sert presque à rien en analyse (je ne sais même pas pourquoi il est enseigné)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
C'est vrai que des passages à la limite avec des intégrales, ça n'arrive jamais en analyse...
Re: Convergence série L^2
il y a deux mois
avatar
@reuns
Donc le théorème de convergence dominée ne sert presque à rien en analyse.
Comment démontres tu à moindre frais que la transformée de Fourier d'une fonction $L^1(\R)$ est continue sur $\R$ ?
Dans le fichier joint, je te donne les principaux théorèmes de l’intégration, dit moi lequel lesquels qui sont inutiles

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - memento_integration.pdf (138.9 KB)
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