Limite de fonction et intervalle fermé

jacques09
jacques09
dans Analyse
Bonjour
Petite question toute bête. Dans la définition de limite de fonction, on utilise des intervalles ouverts. Quelqu'un peut-il me donner un exemple dans lequel l'utilisation d'intervalle fermé entraînerait une erreur et montrerait la nécessité d'avoir des intervalles ouverts dans la définition ? Merci.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    En fait, ça dépend de deux-trois petites choses, notamment de quelle définition tu parles et de quel intervalle dans la définition il est question. Donne-nous une définition, et on devrait pouvoir t'éclairer plus facilement.
  • Math Coss
    Math Coss
    À titre de contre-exercice, je propose de montrer l'équivalence entre les suivantes (où $f$ est une fonction de $\R$ dans $\R$, $a$ et $\ell$ sont deux réels) :
    • $\newcommand{\eps}{\varepsilon}\forall\eps>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in\R,\ |x-a|<\delta\implies\bigl|f(x)-\ell\bigr|<\eps$ ;
    • $\forall\eps>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in\R,\ |x-a|\le\delta\implies\bigl|f(x)-\ell\bigr|\le\eps$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    J'étais sûr que quelqu'un allait poster ça :-D
  • jacques09
    jacques09
    Prenons la définition

    $\forall\epsilon>0,\ \exists\alpha\in\R,\ \forall x\in\R,\quad x>\alpha \implies\bigl |f(x)-l|<\epsilon$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Prenons la définition de quoi ? Faisons-en quelque chose, mais quoi ?
  • jacques09
    jacques09
    C'est la définition de : f a pour limite l en + infini.
    On a donc comme équivalent : tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez "grand"
    J'aimerais donc savoir si le choix d'intervalle ouvert pouvait être donné.
  • raoul.S
    raoul.S
    @jacques09 il y a équivalence entre $$\forall\epsilon>0,\ \exists\alpha\in\R,\ \forall x\in\R,\quad x>\alpha \implies\bigl |f(x)-l|<\epsilon

    $$ et $$

    \forall\epsilon>0,\ \exists\alpha\in\R,\ \forall x\in\R,\quad x>\alpha \implies\bigl |f(x)-l|\leq\epsilon.

    $$ La première implique évidemment la deuxième (prendre le même $\epsilon$) et la deuxième implique la première (prendre $\epsilon/2$).
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