Fonctions homogènes et dérivation
Bonjour
Je dispose d'une fonction $f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^{1}$.
Je suppose que ses deux dérivées partielles sont $(\alpha-1)$-homogènes,
c'est-à-dire, vérifient :
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)&=t^{\alpha-1} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\[3pt]
\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)&=t^{\alpha-1} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
\end{align*} pour tout $t>0$ et tout $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$.
Peut-on alors dire que $f$ est $\alpha$-homogène ? Si oui, comment peut-on le démontrer ? Sinon, peut-on rajouter une hypothèse (ou plusieurs) pour que cela fonctionne ?
Merci par avance pour vos indications,
$\alpha$-Nico
Je dispose d'une fonction $f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^{1}$.
Je suppose que ses deux dérivées partielles sont $(\alpha-1)$-homogènes,
c'est-à-dire, vérifient :
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)&=t^{\alpha-1} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\[3pt]
\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)&=t^{\alpha-1} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
\end{align*} pour tout $t>0$ et tout $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$.
Peut-on alors dire que $f$ est $\alpha$-homogène ? Si oui, comment peut-on le démontrer ? Sinon, peut-on rajouter une hypothèse (ou plusieurs) pour que cela fonctionne ?
Merci par avance pour vos indications,
$\alpha$-Nico
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Réponses
et $f(sv) = \int_0^1 D_{sv} f(s tv)dt=s \int_0^1 D_v f(s tv)dt$
Tu as supposé que $D_v f( s p) = s^{a-1} D_v f(p)$
donc $f( s v) = s \int_0^1 s^{a-1}D_v f(tv) dt=s^a f(v) $