Calcul d'intégrales
Bonjour j'ai une question concernant certains exercices d'analyse complexe voici un énoncé.
Calculez \[
\int_{\partial D (0,2)} \left( \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega - i - 1} \right) d \omega
\] Lors de la correction nous avons
\begin{eqnarray*}
\int_{\partial D (0,2)} \left( \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega - i - 1} \right) d \omega & = & \int_{\partial D (0,1)} \frac{1}{\omega} d \omega \int_{\partial D (0,1)} \frac{1}{\omega - i - 1} d \omega \\ \\ & = &
2 i \pi + 2 i \pi \\
& = & 4 i \pi
\end{eqnarray*} Je ne comprends pas pourquoi il passe de $ \partial D(0,2)$ à $\partial D(0,1)$. Sinon lorsque je veux appliquer le cours je n'arrive pas à obtenir le bon résultat. D'après le cours nous devons utiliser la formule suivante : $$
\int_{ \gamma } f(z) dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)dt,
$$ où dans le cas présent nous avons $\gamma(t) = e^{2 i \pi t}$ si nous considérons $D(0,1)$. Lorsque j'effectue le premier calcul cela marche bien. $$
\int_{\partial D(0,1)} \frac{1}{\omega} d \omega = \int_{0}^{1} \frac{2i \pi e^{2i \pi t}}{e^{2 i \pi t}} dt = 2 i \pi .
$$ En revanche lors du deuxième calcul cela ne fonctionne par car j'obtiens $$
\int_{\partial D(0,1)} \frac{1}{\omega-i-1} d \omega = \int_{0}^{1} \frac{2i \pi e^{2i \pi t}}{e^{2 i \pi t} -i - 1} dt = \left[ \ln(e^{2 i \pi t} -i -1) \right]_{0}^{1} = 0.
$$ Je ne vois pas d'où peut venir mon erreur de calcul. Quelqu'un pourrait m'éclairer ?
Calculez \[
\int_{\partial D (0,2)} \left( \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega - i - 1} \right) d \omega
\] Lors de la correction nous avons
\begin{eqnarray*}
\int_{\partial D (0,2)} \left( \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega - i - 1} \right) d \omega & = & \int_{\partial D (0,1)} \frac{1}{\omega} d \omega \int_{\partial D (0,1)} \frac{1}{\omega - i - 1} d \omega \\ \\ & = &
2 i \pi + 2 i \pi \\
& = & 4 i \pi
\end{eqnarray*} Je ne comprends pas pourquoi il passe de $ \partial D(0,2)$ à $\partial D(0,1)$. Sinon lorsque je veux appliquer le cours je n'arrive pas à obtenir le bon résultat. D'après le cours nous devons utiliser la formule suivante : $$
\int_{ \gamma } f(z) dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)dt,
$$ où dans le cas présent nous avons $\gamma(t) = e^{2 i \pi t}$ si nous considérons $D(0,1)$. Lorsque j'effectue le premier calcul cela marche bien. $$
\int_{\partial D(0,1)} \frac{1}{\omega} d \omega = \int_{0}^{1} \frac{2i \pi e^{2i \pi t}}{e^{2 i \pi t}} dt = 2 i \pi .
$$ En revanche lors du deuxième calcul cela ne fonctionne par car j'obtiens $$
\int_{\partial D(0,1)} \frac{1}{\omega-i-1} d \omega = \int_{0}^{1} \frac{2i \pi e^{2i \pi t}}{e^{2 i \pi t} -i - 1} dt = \left[ \ln(e^{2 i \pi t} -i -1) \right]_{0}^{1} = 0.
$$ Je ne vois pas d'où peut venir mon erreur de calcul. Quelqu'un pourrait m'éclairer ?
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Réponses
Les 1 sont peut-être simplement des typos (erreurs de copie). Et les deux résultats de calcul que tu donnes me semblent corrects.
Donc il ne te reste plus qu'à faire le calcul avec $\partial D(0,2)$.
Cordialement.
Cordialement.
$$ \int_{\partial D(0,2)} \frac{1}{\omega -i - 1} d \omega = 2 i \pi $$
Je ne comprends pas alors la singularité dont vous parlez. Je pense que mon incompréhension vient de là.
Cordialement
Pour la première intégrale à gauche, le rayon $2$ ou $1$ donne le même résultat : on le démontre par un changement de variables.
Merci, cordialement.
Cordialement
Calculez $$
\int_{\partial D(0,2)} \frac{\omega^2}{\omega +1} d \omega.
$$ Lors de la correction j'ai uniquement ceci $$
\int_{\partial D(0,2)} \frac{\omega^2}{\omega +1} d \omega = 2 \pi i \cdot (-1)^2 = 2 \pi i.
$$ Lle premier réflexe pour moi c'était alors d'exprimer l'intégrale sous forme d'un produit entre une intégrale connue et une série qui converge vers 1 ou $(-1)^2$. J'ai essayé de le faire mais je n'y arrive pas. Quelqu'un pourrait m'orienter ?
Cordialement.
C'est simplement la formule intégrale de Cauchy avec f(z)=z².
Ton premier exercice aussi est immédiat avec les deux théorèmes de Cauchy.
Cordialement.
Cordialement.