Calcul d'intégrales

Bonjour j'ai une question concernant certains exercices d'analyse complexe voici un énoncé.
Calculez \[
\int_{\partial D (0,2)} \left( \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega - i - 1} \right) d \omega
\] Lors de la correction nous avons
\begin{eqnarray*}
\int_{\partial D (0,2)} \left( \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega - i - 1} \right) d \omega & = & \int_{\partial D (0,1)} \frac{1}{\omega} d \omega \int_{\partial D (0,1)} \frac{1}{\omega - i - 1} d \omega \\ \\ & = &
2 i \pi + 2 i \pi \\
& = & 4 i \pi
\end{eqnarray*} Je ne comprends pas pourquoi il passe de $ \partial D(0,2)$ à $\partial D(0,1)$. Sinon lorsque je veux appliquer le cours je n'arrive pas à obtenir le bon résultat. D'après le cours nous devons utiliser la formule suivante : $$
\int_{ \gamma } f(z) dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t)dt,
$$ où dans le cas présent nous avons $\gamma(t) = e^{2 i \pi t}$ si nous considérons $D(0,1)$. Lorsque j'effectue le premier calcul cela marche bien. $$
\int_{\partial D(0,1)} \frac{1}{\omega} d \omega = \int_{0}^{1} \frac{2i \pi e^{2i \pi t}}{e^{2 i \pi t}} dt = 2 i \pi .
$$ En revanche lors du deuxième calcul cela ne fonctionne par car j'obtiens $$
\int_{\partial D(0,1)} \frac{1}{\omega-i-1} d \omega = \int_{0}^{1} \frac{2i \pi e^{2i \pi t}}{e^{2 i \pi t} -i - 1} dt = \left[ \ln(e^{2 i \pi t} -i -1) \right]_{0}^{1} = 0.
$$ Je ne vois pas d'où peut venir mon erreur de calcul. Quelqu'un pourrait m'éclairer ?