Homogénéité pour montrer la connexité

Bonjour
Une remarque concernant cet exercice:
U me semble être le disque ouvert de centre (0,0) et de rayon 1.

Bonjour,
une possibilité ?
si un élément n'est pas dans la boule unité fermée du plan pour la norme euclidienne, la première coordonnée de ses itérées par tend vers $+\infty$ donc n'est pas dans U
si un élément est dans la boule unité ouverte du plan pour la norme euclidienne, alors la norme euclidienne des itérés de f décroît strictement vers 0, f restreinte à la boule unité pour la norme euclidienne est une contraction, c'est ce que montre l'homogénéité de f.
Il reste le cas de la sphère unité: comme dans le premier cas la norme euclidienne des itérées tend vers l'infini.
edit: je ne fais que montrer que U est dans la boule unité

Bonjour,

Suite à la remarque pertinente de callipiger, est ce que quelqu'un peut nous dire ce que vaut exactement ce connexe U ?

Bonjour
Il me semble que "$U$ est un connexe" c'est acquis.

Que $(0,0)$ soit un point intérieur aussi.

Pour montrer que $U$ est un ouvert, on peut procéder comme ceci.

Soit $a>0$, tel que $B_0=B(0,a)$ est inclus dans $U$ ($U$ est un point intérieur) et $x_0$ un point de $U$.
Il existe $n$ assez grand, tel que $x_n=f^{n}(x_0)$ soit dans $B_0. $
Il existe $\delta >0$ tel que $B(x_n,\delta) $ soit inclus dans $B_0$ et puisque $f^{n}$ est continue on peut trouver $\epsilon>0$ tel que la boule de centre $B(x_n,\epsilon)$ a son image par $f^{n}$ incluse dans $B_0,$ donc dans $U.$ $U$ est un ouvert.

Cela me semble évident que $U\subset B(0,1).$ En effet si $||x_0||>1$ on doit voir que $||f(x_0)||>1$ (à vérifier).

Par contre je pense maintenant que l'inclusion est stricte. En effet si on prend $x_0=r_0(0,1) $ avec $r_0$ un peu plus petit que $1$ on peut avoir $x_1=f(x_0)$ de module $>1$.
Pour tout, $t\in [0, 2\pi[,$ on peut définir $r(t)=\sup \lbrace r\mid (r\cos(t),r\sin(t)) \in U\rbrace$ et cela détermine la frontière de $U$.
Mais je ne sais pas si on peut trouver une écriture explicite de $ r(t)$ ?

Peut-on déterminer les points de l'axe des ordonnés qui sont dans U
( c'est un segment d’extrémités ?)

d'après le schéma ce n'est pas une ellipse... (les tangentes horizontales sont au moins à l'ordre 4)

[small]En mode n'importe quoi:[/small]
j'aimerais bien que la courbe soit une Spirique de Persée en tout cas ça y ressemble beaucoup de loin (et ça ne constitue pas une preuve).

Le document suivant le deuxième slide en particulier (rien compris mais jolies formules) que je n'ai pas lu me convainc beaucoup.

Merci bd2017, c'est la question que je me posais sur la recherche de a.
Je ne sais pas comment Gabu a vu trivialement que le point (0,a) avec $a=0.9$ est en dehors de U

Rebonjour
@gebrane: Si tu prends (0,a) (ou bien toute autre point) et que sont image sort du disque unité, il ne peut être dans U
en vertu de la première question et du fait que U est inclus dans le disque.
Donc en prenant (0,0.9) son image est (0.81,0.81) et son module au carré vaut 1.3122>1
Tandis que si tu prends (0,0.815) on trouve que l'image est de module au carré= 0.8829.
C'est à partir de cette idée que je peux trouver une suite de courbe qui approche la frontière de U.

Bah, la question 1) est aussi triviale : $f_n(f(x,y))=f_{n+1}(x,y)$.

Il ne me semble pas qu'il y ait besoin d'un gros effort calculatoire pour réaliser que $2\times 0,81^2$ est plus grand que $1$.

Il semble que si $u_n$ est la suite de fonctions définie par $u_0(x)=x$ et $u_{n+1}(x)=u_n(x)^2+1$ alors la courbe d'équation $y^{2^n}u_n(x/y)=1$ donne une bonne approximation de la frontière de $U$. L'approximation polynomiale de bd2017 correspond au cas $n=3$. Pour $n=4$ on trouve
$$x^{16}+26y^{16}+80x^2y^{14}+144x^4y^{12}+168x^6y^{10}+138x^8y^8+80x^{10}y^6+32x^{12}y^4+8x^{14}y^2-1=0.$$