Suites adjacentes
Bonjour,
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que : $$
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
u_{n+1} & = & \sqrt{u_nv_n}\\
v_{n+1} & = & \frac{u_n + v_n}{2},
\end{array}\right.
$$ et $u_0=a$ et $v_0=b$ tels que $0<a<b$
On veut montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacents.
Tout d'abord on a $u_0<v_0$ et d'autre part $\forall n \geq 0$ on a $$
\begin{array}{rcl}
(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2 & = & u_n-2\sqrt{u_nv_n}+v_n\\
& = & 2v_{n+1}-2u_{n+1}~\geq 0~~(*)
\end{array}
$$ Ainsi $u_n\leq v_n,~~ \forall n\in \mathbb{N} $
D'autre part d'après $(*)$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{u_nv_n}}{u_n}=\frac{\sqrt{v_n}}{\sqrt{u_n}}\geq 1.
$$ Donc $u_n$ croissante.
De même $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_n+v_n}{v_n}=\frac{u_n}{2v_n}+\frac{1}{2} \leq 1 .
$$ Donc $v_n$ décroissante.
Si tout ça est vrai alors il me reste a montrer que $$\lim_{n}(u_n-v_n)=0~~???$$
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que : $$
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
u_{n+1} & = & \sqrt{u_nv_n}\\
v_{n+1} & = & \frac{u_n + v_n}{2},
\end{array}\right.
$$ et $u_0=a$ et $v_0=b$ tels que $0<a<b$
On veut montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacents.
Tout d'abord on a $u_0<v_0$ et d'autre part $\forall n \geq 0$ on a $$
\begin{array}{rcl}
(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2 & = & u_n-2\sqrt{u_nv_n}+v_n\\
& = & 2v_{n+1}-2u_{n+1}~\geq 0~~(*)
\end{array}
$$ Ainsi $u_n\leq v_n,~~ \forall n\in \mathbb{N} $
D'autre part d'après $(*)$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{u_nv_n}}{u_n}=\frac{\sqrt{v_n}}{\sqrt{u_n}}\geq 1.
$$ Donc $u_n$ croissante.
De même $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_n+v_n}{v_n}=\frac{u_n}{2v_n}+\frac{1}{2} \leq 1 .
$$ Donc $v_n$ décroissante.
Si tout ça est vrai alors il me reste a montrer que $$\lim_{n}(u_n-v_n)=0~~???$$
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Réponses
Une coquille dans $(*)$ à corriger.
Ce que dit gebrane est justement la relation $(*)$ (en divisant par $2$).
Enfin, il y a un problème de signe...
C’est-à-dire « pas le droit d’écrire cela » ?
Remarque : il est utile d’invoquer un théorème (La suite $(x_n)_n$ est réelle, monotone et bornée donc elle converge...notons $\ell$ sa limite)
Cordialement
Dom
Démontres que $0\leq v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac 12 (v_{n}-u_{n})\leq \frac 1{2^{n+1}}(v_0-u_0)$
le carré c’était un truc d';-) hier
Y a-t-il une faute dans ceci
$v_{n+1}-u_{n+1}\leq v_{n+1}-u_{n}=\frac 12 (v_{n}-u_{n})$
Mais c’est juste en effet.
Rappelons le mot clef : Wiki
Et au passage, pour montrer que $(v_n)$ est décroissante, c'est quand même plus simple de calculer $v_{n+1}-v_n$.
C’est d’ailleurs à cela que « servent » les théorèmes d’existence.
$M-u_{n}\sim v_{n}-M\sim 4Mq^{2^{n}}$ quand $n\rightarrow +\infty $, avec : $0<q<1$.
Ce que j'avais écrit hier dans la nuit était d'une lourdeur inutile (avec en plus des coquilles :)o),
$0\leq v_{n+1}-u_{n+1}=\frac 12 (\sqrt v_n-\sqrt u_n)^2\leq \frac 12 (v_n-u_n)$ ( avec le fait que $( a-b)^2 \leq |a^2-b^2|$ pour a,b positifs)
voila ce que je fais tout simplement ! $$
\begin{array}{rcl}
0 \leq u_{n+1}-v_{n+1} & = & \frac{1}{2}(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2 \\
& = & \frac{1}{2}(u_{n}+v_{n})-\sqrt{u_nv_n}\\
& \leq & \frac{1}{2}(u_{n}+v_{n}).
\end{array}
$$ Par suite $$
0 \leq u_{n+1}-v_{n+1} \leq \frac{1}{2^{n+1}}(u_{0}+v_{0}).$$
On est dans la situation
$A-B \leq A $ car $B\geq 0$
\begin{array}{rcl}
0 \leq v_{n+1}-u_{n+1} & = & \frac{1}{2}(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2 \\
& = & \frac{1}{2}(u_{n}+v_{n})-\sqrt{u_nv_n}\\
& \leq & \frac{1}{2}(u_{n}+v_{n}).
\end{array} Par suite $$
0 \leq v_{n+1}-u_{n+1} \leq \frac{1}{2^{n+1}}(u_{0}+v_{0}).$$
Le résultat reste le même.
Ton "par suite" signifie que ce que tu écris ensuite est une conséquence immédiate de ce que tu viens d'écrire. Comme je ne vois pas de raison, tu peux (et tu dois, sinon ce n'est pas une preuve valide) donner une preuve de ce que tu écris (application d'un théorème, preuve en 3 lignes, ...).
Cordialement.
(1) La suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est croissante.
(2) La suite $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ est décroissante.
(3) Pour tout $n \in \mathbb N$ on a : $u_n \le v_n$.
(4) On a : $\lim_{n \rightarrow + \infty} (v_n-u_n)=0$.
Alors ces suites ont une limite commune $\ell $, et pour tout $n \in \mathbb N$ on a : $u_n \le \ell \le v_n$.
Cette liste de 4 hypothèses est redondante car (1) et (2) et (4) impliquent (3), et l'on pourrait donc en toute rigueur supprimer cette hypothèse (3). Pourtant, si pour un couple de suites les hypothèses (1), (2) et (3) sont satisfaites, on peut en déduire que les suites $u_n$ et $ v_n$ ont des limites respectives $\ell$ et $\ell'$, et que pour tout $n \in \mathbb N$ on a : $u_n \le \ell \le \ell' \le v_n$, ce qui n'est pas rien.
Il semble donc préférable de conserver l'hypothèse (3), en signalant qu'elle découle des autres. Dans le présent exemple ce serait dommage de la supprimer puisque c'est elle qui fait tout marcher. Et la meilleure façon de conclure c'est celle qui est donnée par Eric, vérifier (3), (1) et (2), en tirer les conséquences, et finir par prouver sans mal que $\ell=\ell'$, à partir de $v_{n+1}=\frac {u_n+v_n}2$, plutôt que de $u_{n+1}=\sqrt {u_n v_n}$. Curieusement, dans les ouvrages un peu anciens, on ne donne pas cette solution, mais on s'échine à prouver que $\lim_{n \rightarrow + \infty} (v_n-u_n)=0$, ce qui est parfaitement inutile.
Je rappelle que j'ai donné dans un message précédent l'évaluation de la rapidité de convergence, qu'on ne trouve pas partout, à ma connaissance.
Bonne journée.
Fr. Ch
Peux-tu nous expliquer comment de
$0\leq v_{n+1}-u_{n+1} \leq \frac 12 (u_n+v_n)$ tu arrives à $0\leq v_{n+1}-u_{n+1} \leq \frac 1{2^{n+1}} (u_0+v_0)$
@Chaurien
Bonjour
L'auteur de la question veut savoir comment démontrer que la limite de $u_n-v_n$ est nulle. Que cette étape soit inutile, sa question reste une question
Par passage à la limite dans chaque expression ça doit rouler.
$\ell’$ est la moyenne (géométrique non nulle ou arithmétique) de $\ell$ et $\ell’$
Dans mon cours L1 deux suites sont dites adjacentes si l'une est croissante , l'autre est décroissante et leurs différence tend vers 0 . Dans cette définition la comparaison $u_n\leq v_n$ est inutile
J'ai cru que tu voulais me dire que deux suites sont dites adjacentes si l'une est croissante( notée u_n) , l'autre est décroissante (notée v_n) et $u_n \leq v_n$
Chaurien a très bien rappelé tout ça.
La condition « 3) » superfétatoire notamment.
gebrane
vous avez raison il y a un souci de signe comme il été déjà dit par keijin donc on ne [peut] pas raisonner comme ça.
J'ai bien compris toutes les autres méthodes même la méthode d'Eric c'était la meilleure je pense, j'ai continué la discussion pour éviter tout les risques
Merci beaucoup à tous.
Celle que j'ai proposée (et Dom l'avait déjà suggérée) est la plus efficace ici (tant que l'on ne cherche pas la vitesse de convergence), mais il est intéressant de toutes les connaître, car toutes peuvent être utiles à un moment ou un autre.
Ton astuce marche souvent http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,438954,438997#msg-438997
Connais-tu un exemple ( puisque tu es auteur) où ton astuce ne marche pas
Merci
Aide moi ! j'ai ouvert mon classeur de TD L1 (sans solutions) et je tombe sur cet exercice, on demande aussi de déterminer la limite commune en fonction de a,b. Je ne me rappelle pas de tout le comment ! ( il ya cette réponse $$\frac{bsin(arccos(\frac ab)}{arccos(\frac ab)}$$
Si je comprends bien, tu donnes la solution et il faut trouver le problème...
Ta solution n'est pas celle du problème posé initialement, mais plutôt celle de la suite de Schwab, qui lui ressemble.
Bien cordialement,
Fr. Ch.
On a bien $u_{n+1}=\frac 12 (u_n+v_n)$ mais $v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}$ avec $u_0=a, v_0=b, 0<a<b$
Chaurien Sais-tu comment déterminer la limite commune de la question du fil? dja dit dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1847594,1847868#msg-1847868