Suites adjacentes

C'est très classique u_(n+1) -v_(n+1)=1/2 (\sqrt u_n-\sqrt v_n)^2

Bonjour,

Une coquille dans $(*)$ à corriger.

Ce que dit gebrane est justement la relation $(*)$ (en divisant par $2$).
Enfin, il y a un problème de signe...
C’est-à-dire « pas le droit d’écrire cela » ?

Remarque : il est utile d’invoquer un théorème (La suite $(x_n)_n$ est réelle, monotone et bornée donc elle converge...notons $\ell$ sa limite)

Cordialement

Dom

Gebrane, ne manque-t-il pas un carré ?

Oui car tu ne quantifies pas :-D
Mais c’est juste en effet.

Rappelons le mot clef : Wiki

Exactement Éric c’est la piste que j’avais proposée (utiliser l’existence de la limite pour « travailler »).

C’est d’ailleurs à cela que « servent » les théorèmes d’existence.

Dom
Ce que j'avais écrit hier dans la nuit était d'une lourdeur inutile (avec en plus des coquilles :)o),
$0\leq v_{n+1}-u_{n+1}=\frac 12 (\sqrt v_n-\sqrt u_n)^2\leq \frac 12 (v_n-u_n)$ ( avec le fait que $( a-b)^2 \leq |a^2-b^2|$ pour a,b positifs)

Lafdili Je pense que vous n'avez pas le droit d'ecrire ça !!

En écrivant ce que tu as écrit , tu me dis que $v_n$ est plus petit de $u_n$

Il y a des petits soucis de signe. Revois la ligne après le "par suite", car elle est fausse (à priori).

Les suites adjacentes se définissent ainsi :
(1) La suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est croissante.
(2) La suite $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ est décroissante.
(3) Pour tout $n \in \mathbb N$ on a : $u_n \le v_n$.
(4) On a : $\lim_{n \rightarrow + \infty} (v_n-u_n)=0$.
Alors ces suites ont une limite commune $\ell $, et pour tout $n \in \mathbb N$ on a : $u_n \le \ell \le v_n$.

Cette liste de 4 hypothèses est redondante car (1) et (2) et (4) impliquent (3), et l'on pourrait donc en toute rigueur supprimer cette hypothèse (3). Pourtant, si pour un couple de suites les hypothèses (1), (2) et (3) sont satisfaites, on peut en déduire que les suites $u_n$ et $ v_n$ ont des limites respectives $\ell$ et $\ell'$, et que pour tout $n \in \mathbb N$ on a : $u_n \le \ell \le \ell' \le v_n$, ce qui n'est pas rien.

Il semble donc préférable de conserver l'hypothèse (3), en signalant qu'elle découle des autres. Dans le présent exemple ce serait dommage de la supprimer puisque c'est elle qui fait tout marcher. Et la meilleure façon de conclure c'est celle qui est donnée par Eric, vérifier (3), (1) et (2), en tirer les conséquences, et finir par prouver sans mal que $\ell=\ell'$, à partir de $v_{n+1}=\frac {u_n+v_n}2$, plutôt que de $u_{n+1}=\sqrt {u_n v_n}$. Curieusement, dans les ouvrages un peu anciens, on ne donne pas cette solution, mais on s'échine à prouver que $\lim_{n \rightarrow + \infty} (v_n-u_n)=0$, ce qui est parfaitement inutile.

Je rappelle que j'ai donné dans un message précédent l'évaluation de la rapidité de convergence, qu'on ne trouve pas partout, à ma connaissance.

Bonne journée.
Fr. Ch

Et bien si $\ell =\ell’$, on a la réponse, non ?

Mais voyons, tout a été dit !

Par passage à la limite dans chaque expression ça doit rouler.

$\ell’$ est la moyenne (géométrique non nulle ou arithmétique) de $\ell$ et $\ell’$

Ha ok.
Chaurien a très bien rappelé tout ça.
La condition « 3) » superfétatoire notamment.

Je ne pense pas qu'il y a une meilleure méthode.
Celle que j'ai proposée (et Dom l'avait déjà suggérée) est la plus efficace ici (tant que l'on ne cherche pas la vitesse de convergence), mais il est intéressant de toutes les connaître, car toutes peuvent être utiles à un moment ou un autre.

Il doit y avoir des cas où travailler avec des suites de Cauchy marche bien (pas besoin d’exhiber la limite).

@ gebrane
Si je comprends bien, tu donnes la solution et il faut trouver le problème...
Ta solution n'est pas celle du problème posé initialement, mais plutôt celle de la suite de Schwab, qui lui ressemble.
Bien cordialement,
Fr. Ch.