Développement en série

morpho · August 2019

Bonjour à tous
Je ne vois pas comment démontrer cette égalité !! Pouvez-vous m'aider ? Merci. $$

\frac {k!} {(1-x)^{(k+1)}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(k+n)!} {n!} x^n .$$

P. · August 2019

Si $(a)_n=a(a+1)\ldots(a+n-1)$ avec $(a)_0=1$ alors la formule du binôme de Newton (L2) dit que pour $|x|<1$ on a $$
\frac{1}{(1-x)^a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}x^n$$

Keynes · August 2019

Démontre par récurrence sur k

morpho · August 2019

Bonjour P. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1847616,1847620#msg-1847620
Merci de votre réponse.
Où est-ce qu'on peut trouver une démonstration de cette formule ?
Merci.

[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

P. · August 2019

Il y avait une coquille maintenant corrigée : $a_n$ est à remplacer par $a+n.$ La formule du binôme de Newton fait partie du cours de 2ème année d’université, on ne peut le faire avant d'avoir étudié les séries entières.

side · August 2019

supp

BobbyJoe · August 2019

Dérive la série géométrique et sa somme $k$ fois...
L'exercice se résume alors à savoir calculer les dérivées $k$-ième de $x^{n}$ et de $\frac{1}{1-x}.$
J'imagine que $k$ est entier?