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Développement en série

Envoyé par morpho 
Développement en série
il y a deux mois
Bonjour à tous
Je ne vois pas comment démontrer cette égalité !! Pouvez-vous m'aider ? Merci. $$

\frac {k!} {(1-x)^{(k+1)}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(k+n)!} {n!} x^n .$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
P.
Re: développement en série
il y a deux mois
Si $(a)_n=a(a+1)\ldots(a+n-1)$ avec $(a)_0=1$ alors la formule du binôme de Newton (L2) dit que pour $|x|<1$ on a $$
\frac{1}{(1-x)^a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}x^n$$



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: développement en série
il y a deux mois
Démontre par récurrence sur k
Re: développement en série
il y a deux mois
Bonjour P. [www.les-mathematiques.net]
Merci de votre réponse.
Où est-ce qu'on peut trouver une démonstration de cette formule ?
Merci.

[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
P.
Re: développement en série
il y a deux mois
Il y avait une coquille maintenant corrigée : $a_n$ est à remplacer par $a+n.$ La formule du binôme de Newton fait partie du cours de 2ème année d’université, on ne peut le faire avant d'avoir étudié les séries entières.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: développement en série
il y a deux mois
Bonjour,

$f=(1-x)^{-a}$ satisfait $f(0)=1, f^{'}=af/(x-1)$ et on recherche une série entière solution de cette équation différentielle.
Re: Développement en série
il y a deux mois
Dérive la série géométrique et sa somme $k$ fois...
L'exercice se résume alors à savoir calculer les dérivées $k$-ième de $x^{n}$ et de $\frac{1}{1-x}.$
J'imagine que $k$ est entier?
Re: Développement en série
il y a deux mois
avatar
Le moyen le plus économique c'est de démontrer cette égalité par récurrence sur k et en plus c'est simple !
Des objections ? grinning smiley

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