Équation différentielle
Bonjour à toutes et à tous
Cela fait trop longtemps que je n'ai pas fait d'équation différentielle, j'ai svp besoin d'aide.
Voici le problème à résoudre, il est en deux équations.
$d.\beta(t)+e.\alpha(t)=b.\beta''(t)$
$f.d.\beta(t)+f.e.\alpha(t)+c=a.\alpha''(t)$
J'ai besoin de savoir $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ ; avoir ces fonctions m’arrangerait bien
(Je connais $a, b, c, d, e, f $ et la plupart des valeurs de $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ pour $t=0$).
Merci d'avance, cordialement.
Cela fait trop longtemps que je n'ai pas fait d'équation différentielle, j'ai svp besoin d'aide.
Voici le problème à résoudre, il est en deux équations.
$d.\beta(t)+e.\alpha(t)=b.\beta''(t)$
$f.d.\beta(t)+f.e.\alpha(t)+c=a.\alpha''(t)$
J'ai besoin de savoir $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ ; avoir ces fonctions m’arrangerait bien
(Je connais $a, b, c, d, e, f $ et la plupart des valeurs de $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ pour $t=0$).
Merci d'avance, cordialement.
Réponses
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Si tu poses $y_1=\alpha, y_2=\beta, y_3=y'_1, y_4=y'_2$ et $M=\left[\begin{array}{cc}0&I_2\\A&0\end{array}\right]$ ou $A$ est une matrice 2x2, alors $y'=My$ et donc $y(t)=e^{tM}y(0).$ Comme $M^{2n}=\left[\begin{array}{cc}A^n&0\\0&A^n\end{array}\right]$ et $M^{2n+1}=\left[\begin{array}{cc}0&A^n\\A^{2n+1}&0\end{array}\right]$ alors
$$e^{tM}=\left[\begin{array}{cc}\cosh tA&\sinh tA\\tA\sinh tA&\cosh tA\end{array}\right]$$ Il ne te reste plus qu'a diagonaliser $A$ ou au pire trigonaliser pour calculer $\cosh tA$ et $\sinh tA.$ Bouh... -
Bonjour,
Par substitution : $f. b \beta”+c=a.\alpha”$ et tu intègres... deux fois et tu reportes pour finir. -
Bonjour YvesM
J'ai essayé, j'ai pu définir toutes les constants d'intégration avec les valeurs connues pour t=0 et je ne saisis pas ce que "reporter" veux dire ici, svp.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
P. a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1847618,1847624#msg-1847624
Il ne te reste plus qu'a diagonaliser $A$ ou au pire trigonaliser pour calculer $\cosh tA$ et $\sinh tA.$ Bouh...
Super, ça a l'air bien et je dois là me documenter... À bientôt. -
Bonjour,
Après les deux intégrations tu obtiens $\beta(t)=A \alpha(t) + P(t)$ avec $A$ un coefficient réel et $P$ un polynôme de degré deux.
Tu reportes cette expression de $\beta$ dans la seconde équation et tu obtiens une équation différentielle sur $\alpha$ que l’on sait résoudre.
Cette méthode est simple et rapide. -
Cher YM, ta methode passe plutot par $c_1\beta''+c_2\beta =\alpha''$. Je trouve que finalement prendre les valeurs propres de $A$ va plus vite.
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Bonjour!
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