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Équation fonctionnelle

Envoyé par hass hass 
Équation fonctionnelle
il y a deux mois
Svp voici un exercice de l'olympiade internationale des maths.

C
hercher toutes les fonctions f de Z vers Z telles que
f(2a)+2f(b) =f(f(a+b)), quelque soit a,b de Z.

Svp aidez-moi à résoudre ce problème.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: équation fonctionnelle
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Il faut que tu essaies quelques manipulations simples, par exemple $b=0$...
Re: équation fonctionnelle
il y a deux mois
Avec a=0
f(f(b)) = 2f(b)+f(0)
donc a priori f est de la forme f(n) =2n+c
mais est-ce que ce sont les seules.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: équation fonctionnelle
il y a deux mois
@admin et @hass hass

Il me semble que sur le forum concours/sujet OIM2019, cette question a été postée et résolue par un forumeur
Re: équation fonctionnelle
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Il te faut essayer un peu plus... et démontrer une condition nécessaire...
Par exemple essaie d’éliminer le $f(f(x))$...
Re: équation fonctionnelle
il y a deux mois
En écrivant de deux manières différentes $x+1$ et en les utilisant pour trouver deux développements de $f^2(x+1)$, tu peux trouver une expression de $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$, $f(0)$ et $f(2)$. De là, tu ne devrais pas avoir trop de mal à justifier les solutions sont bien des fonctions affines.
Je ne vois que deux solutions possibles, l'une d'elle n'est pas de la forme que tu as proposée.
Re: équation fonctionnelle
il y a deux mois
Re: Équation fonctionnelle
il y a deux mois
Merci beaucoup de votre soutien.
Le problème est déjà résolu sur le forum.
Toutes mes excuses.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
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