Fourier
Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit $f \in L^(\R)$. Montrer que la transformée de Fourier de $f$ peut s'écrire:
$$
\widehat{f}(\xi)= 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} g(x) \cos(2 \pi x \xi) dx - 2 i \displaystyle\int_0^{+\infty} h(x) \sin(2 \pi x \xi) dx
$$
où $g$ est une fonction paire et $h$ une fonction impaire telle que $f(x)= g(x)+ f(x), \ \forall x \in \R$.
J'ai essayé de répondre à la question en écrivant:
\begin{align*}
\widehat{f}(\xi)
&=
\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-2 \pi i x \xi} f(x) dx\\
&=
\displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(2 \pi x \xi) g(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(2 \pi \xi x) h(x) dx
-i \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(2 \pi \xi x) g(x) dx - i \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(2 \pi \xi x) h(x) dx\\
\end{align*}
et à partir de là, je ne retrouve pas le résultat énoncé au départ. Merci de m'aider.
Cordialement
j'ai l'exercice suivant: soit $f \in L^(\R)$. Montrer que la transformée de Fourier de $f$ peut s'écrire:
$$
\widehat{f}(\xi)= 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} g(x) \cos(2 \pi x \xi) dx - 2 i \displaystyle\int_0^{+\infty} h(x) \sin(2 \pi x \xi) dx
$$
où $g$ est une fonction paire et $h$ une fonction impaire telle que $f(x)= g(x)+ f(x), \ \forall x \in \R$.
J'ai essayé de répondre à la question en écrivant:
\begin{align*}
\widehat{f}(\xi)
&=
\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-2 \pi i x \xi} f(x) dx\\
&=
\displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(2 \pi x \xi) g(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(2 \pi \xi x) h(x) dx
-i \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(2 \pi \xi x) g(x) dx - i \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(2 \pi \xi x) h(x) dx\\
\end{align*}
et à partir de là, je ne retrouve pas le résultat énoncé au départ. Merci de m'aider.
Cordialement
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Réponses
il suffit de remarquer avec les bonnes hypothèses de justifier que l'integrale sur $\mathbb {R}$ du produit d'une fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire d'intégrale nulle
je pense que vous devez modifier votre definition de la transformée de Fourrier à la deuxième ligne de votre message, l'integrale n'est pas sur $[0;+\infty[$ mais sur $]-\infty; +\infty[$
le 2 vient du fait que la moitié de l'intégrale sur $\mathbb{R}$ est l'intégrale sur $[0,+\infty[$ pour une fonction paire intégrable