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Nombres réels

Envoyé par Attien 
Nombres réels
il y a trois mois
Bonsoir, je n'arrive pas à me démontrer ce que j'ai souligné dans l'image, quelqu'un peut-il m'aider svp ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.


Dom
Re: nombres réels
il y a trois mois
Il suffit d’écrire l’inégalité qui définit $E(qa)$ pour commencer. Elle contient une inégalité large et une inégalité stricte.
Re: nombres réels
il y a trois mois
Bonjour,

Pour se convaincre (ça ne démontre rien) dessinez un intervalle ouvert de longueur strictement pus grande que 1 et vérifier qu'il contient au moins un entier.
une fois ceci fait, caractériser le plus petit entier(qui a bien un sens) qu'il contient avec la borne inférieure de l'intervalle.
Re: nombres réels
il y a trois mois
Oui, on a $E(aq)\leq aq < E(aq)+1$ et $aq-1<E(aq)\leq aq$ et ...?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nombres réels
il y a trois mois
ok , merci
Re: nombres réels
il y a trois mois
Je ne comprends pas la dernière phrase de votre message svp....
Re: nombres réels
il y a trois mois
@side
Considérons $A=\,]a,b[$ tel que $ a$<$b$ avec $d(a,b)>1$.
Comme $A$ est non vide et minoré, alors $A$ admet une borne inférieure notée $\inf(A)$.
Posons $m$ ; le plus petit entier appartenant à $A $.
Alors on a $\inf(A)< m<b$ avec $\inf(A)\leq a$,
alors on a $m=E(a)+1$ car le plus petit entier strictement supérieur à $a$ est $E(a)+1$
Pensez-vous que mon raisonnement est juste ?
Si oui je l'utilise pour établir la démonstration.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. winking smiley AD]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nombres réels
il y a trois mois
Désolé je n'avais pas compris que la question m'était adressée.

Non le raisonnement n'est pas correct.
Prendre $a=0, b=1/2$ pour un contre-exemple de non existence d'entier.
De manière générale quand on écrit soit ''blabla'' le plus petit qui vérifie (ou bien l'inf de tel ensemble) la propriété ''blabla'' il faut s'assurer que l'ensemble des éléments qui vérifient cette propriété (ou bien que l'inf de... existe bien) n'est pas vide.
En plus clair, le ''$m$'' n'existe pas avec cet exemple (car l'ensemble des entiers appartenant à $A$ est vide).

Je ne voulais pas vous induire en erreur, et si vous avez compris l'argument de Dom (d'après ce que je lis) il n'est pas utile de s'embrouiller.

L'idée de preuve est la suivante.
1) Tout intervalle de longueur assez grande contient nécessairement un entier (on peut chiffrer le ''assez grand'' mais en fait ça n'a aucune importance).
2) En multipliant les bornes inf et sup d'un intervalle par un entier la longueur de l'intervalle est multipliée par cet entier.
3) Quelle que soit la longueur d'un intervalle ouvert non vide, en multipliant les bornes inf et sup par un entier assez grand, l'intervalle dilaté contient nécessairement au moins un entier. CSQ de 1) et 2)
Donc la seule chose réellement à prouver c'est 1) : voir preuve de Dom, mais c'est quand même mieux si vous avez un peu d'intuition sur ce qui se passe sur la droite numérique.



Edité 7 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nombres réels
il y a trois mois
Bonjour Attien.

J'ai l'impression que $\inf(]a,b[)$ a une écriture très simple. Pas toi ????

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gerard0.
Re: nombres réels
il y a trois mois
veux-tu parler de la caractérisation de la borne inf?
Re: nombres réels
il y a trois mois
Dans ma preuve, j'avais oublié de préciser que $d(a,b)>1$, je pense que ça devrait aller maintenant ...
Sinon peux-tu m'expliquer un peu plus ta démarche ...

@Dom, je n'arrive toujours pas à coincer $E(aq)+1$.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Nombres réels
il y a trois mois
Toujours non correct car rien ne dit que l'ensemble des entiers dans l'intervalle n'est pas vide.
Re: Nombres réels
il y a trois mois
$aq$<$E(aq)+1\leq aq+1$ mais a-t-on $aq+1<bq$?
Re: Nombres réels
il y a trois mois
Il faut bien que l'hypothèse sur la longueur de l'intervalle intervienne quelque part..
Re: Nombres réels
il y a trois mois
@side, effectivement, il suffit de se rappeler que $1<bq-aq$ mdr...moody smiley

Merci à toi.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nombres réels
il y a trois mois
Attien écrivait :
-------------------------------------------------------
> veux-tu parler de la caractérisation de la borne inf ?

Sois sérieux, c'est a. Et ça n'a rien à faire dans ta rédaction (imitation d'un autre exercice ???).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: nombres réels
il y a trois mois
Oui je sais que la borne inférieure c’est a.
Re: nombres réels
il y a trois mois
J’ai l’impression de vous avoir mis en colère.... désolé eye popping smiley
Re: nombres réels
il y a trois mois
Non ! En fait, ta rédaction m'inquiète pour toi.

Je te faisais simplement remarquer que parler de la borne inférieure d'un ensemble donné par ses bornes inférieures et supérieures est sans utilité, c'est parler pour ne rien dire. Rédiger en maths, c'est dire ce qui est utile, les propriétés dont on se sert, par écrire des évidences sur des évidences.

Cordialement
Re: nombres réels
il y a trois mois
Merci pour cette reproche,ça m’aidera à faire plus attention dans mes prochaines rédactions.

Cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Attien.
Re: Nombres réels
il y a trois mois
@ Attien :

Si $q(b-a) >1$ cela veut dire qu'il existe bien un entier naturel (différent de zéro) compris entre les réels qb et qa non ?

Si la partie entière de qb était égale à la partie entière de qa, on ne pourrait pas avoir $q(b-a) >1$, en fait on aurait
$q(b-a) <1$ . Par conséquent la partie entière de qb doit être strictement plus grande que celle de qa ce qui implique qu'il y bien au moins un entier compris entre les réels qa et qb (penser à la représentation décimale illimitée d'un nombre réel).
Re: Nombres réels
il y a trois mois
Moi je procède comme suit.
D'abord tout intervalle $ ] 0,\delta [$, $\delta>0$, contient un rationnel $r=\frac 1d$, $d \in \mathbb N^*$, parce que l'ordre dans $\mathbb R$ est archimédien.
Ensuite j'applique le théorème de la grenouille : si une grenouille fait des sauts de $r$ et si elle est face à une rivière de largeur $\delta>r$, fatalement elle tombera dedans.
Plus sérieusement, si $0<a<b$, prenons $\delta =b-a$, et $r \in \mathbb Q$, $ r \in ]0,\delta [$, alors il existe $ n \in \mathbb N$ tel que $ nr \in ]a,b [$.
Pour le prouver, toujours d'après l'ordre archimédien dans $\mathbb R$, il existe $k \in \mathbb N$ tel que $kr \ge b$, et comme l'ordre dans $\mathbb N$ est un bon-ordre, il existe un plus petit $k \in \mathbb N$ qui vérifie cette propriété. Soit $m$ ce plus petit $k$, alors : $mr \ge b>(m-1)r=mr-r>b- \delta>a$, et l'on prend $n:=m-1$.

Maintenant pour prouver que tout intervalle de $\mathbb R$ contient des irrationnels, on a le choix entre plusieurs démonstrations. Par exemple soient des réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, alors il existe des rationnels $r$ et $s$ tel que : $a<r<s<b$. Il existe des irrationnels éléments de $]0,1[$, soit $ \xi$ l'un d'eux, alors $ \eta=r+(s-r) \xi$ est un irrationnel élément de $]r,s[$ donc de $]a,b[$.

En adaptant cette démonstration, on peut prouver que tout sous-anneau de $\mathbb R$ autre que $\mathbb R$ ou $\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$ ainsi que son complémentaire, sans passer par le théorème qui établit la classification des sous-groupes additifs de $\mathbb R$ en quatre classes. Attention, un sous-anneau est entendu au sens actuel, avec élément-unité.

Bonne nuit.
Fr. Ch.
13/08/2019
Re: Nombres réels
il y a trois mois
avatar
Je rejoins l'idée simple de Dom
On veut montrer que $p<qb$.
Supposons le contraire $p\geq qb$ donc puisque $p=E(qa)+1$ on aura $E(qa)+1\geq qb>qa+1$ d'où $E(qa)>qa$ ceci contredit comme Dom l'a signalé la definition de la partie entière

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Re: Nombres réels
il y a deux mois
Dans mon dernier message, j'ai opté pour une rédaction qui se ramène aux principes et pourrait s'appliquer à d'autres corps ordonnés archimédiens, mais on peut aussi utiliser la fonction partie entière « plancher » $\left\lfloor ...\right\rfloor $.

$ \bullet$ On commence de même par noter que pour tout réel $\delta >0$ il existe $d \in \mathbb N^*$ tel que $0< \frac 1d < \delta$.
Si maintenant on a deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, il existe $d \in \mathbb N^*$ tel que $0< \frac 1d < b-a$. Soit $k=\left\lfloor da \right\rfloor $, qui est élément de $ \mathbb Z$.
Alors $ \frac kd \le a < \frac {k+1}d= \frac kd+\frac 1d< a+(b-a)=b $. Le rationnel $ \frac {k+1}d$ est élément de $]a,b[$.

$ \bullet$ Il en résulte que tout intervalle non trivial contient une infinité de rationnels, donc en particulier un rationnel non nul.

$ \bullet$ Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, et soit $\xi$ un irrationnel positif. Alors l'intervalle $] \frac a{\xi}, \frac b{\xi}[$ contient un rationnel non nul $r$. Et l'intervalle $]a,b[$ contient le réel $r \xi$, qui est irrationnel.

$ \bullet$ Soit $A$ un sous-anneau de $ \mathbb R$, qui n'est ni $ \mathbb R$ ni $ \mathbb Z$. On a : $\mathbb{Z}\subset A$. Soit $x\in A\backslash \mathbb{Z}$ et soit $q= x- \left\lfloor x \right\rfloor$. Alors $q \in A $ et $q \in ]0,1[$. D'où $q^n \in A$ pour tout $ n \in \mathbb N^*$. Comme $\lim_{n \rightarrow + \infty} q^n =0$, il en résulte que pour tout réel $\delta >0$ il existe $r \in A$ tel que $0< r < \delta$. Etc...

Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Nombres réels
il y a deux mois
Merci à vous pour vos différentes réponses même si j’ai pu comprendre la preuve grâce à certaines réponses bien avant.
Mais j’ai obtenu au moins pas mal de raisonnements sur une même preuve, c’est toujours formidable.

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Nombres réels
il y a deux mois
On peut aussi utiliser pompeusement l’écriture décimale d’un réel et construire aussi pompeusement ce rationnel en utilisant le fait que son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.
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