Nombres réels

Il suffit d’écrire l’inégalité qui définit $E(qa)$ pour commencer. Elle contient une inégalité large et une inégalité stricte.

supp

supp

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Attien écrivait :

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> veux-tu parler de la caractérisation de la borne inf ?

Sois sérieux, c'est a. Et ça n'a rien à faire dans ta rédaction (imitation d'un autre exercice ???).

Moi je procède comme suit.
D'abord tout intervalle $ ] 0,\delta [$, $\delta>0$, contient un rationnel $r=\frac 1d$, $d \in \mathbb N^*$, parce que l'ordre dans $\mathbb R$ est archimédien.
Ensuite j'applique le théorème de la grenouille : si une grenouille fait des sauts de $r$ et si elle est face à une rivière de largeur $\delta>r$, fatalement elle tombera dedans.
Plus sérieusement, si $0<a<b$, prenons $\delta =b-a$, et $r \in \mathbb Q$, $ r \in ]0,\delta [$, alors il existe $ n \in \mathbb N$ tel que $ nr \in ]a,b [$.
Pour le prouver, toujours d'après l'ordre archimédien dans $\mathbb R$, il existe $k \in \mathbb N$ tel que $kr \ge b$, et comme l'ordre dans $\mathbb N$ est un bon-ordre, il existe un plus petit $k \in \mathbb N$ qui vérifie cette propriété. Soit $m$ ce plus petit $k$, alors : $mr \ge b>(m-1)r=mr-r>b- \delta>a$, et l'on prend $n:=m-1$.

Maintenant pour prouver que tout intervalle de $\mathbb R$ contient des irrationnels, on a le choix entre plusieurs démonstrations. Par exemple soient des réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, alors il existe des rationnels $r$ et $s$ tel que : $a<r<s<b$. Il existe des irrationnels éléments de $]0,1[$, soit $ \xi$ l'un d'eux, alors $ \eta=r+(s-r) \xi$ est un irrationnel élément de $]r,s[$ donc de $]a,b[$.

En adaptant cette démonstration, on peut prouver que tout sous-anneau de $\mathbb R$ autre que $\mathbb R$ ou $\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$ ainsi que son complémentaire, sans passer par le théorème qui établit la classification des sous-groupes additifs de $\mathbb R$ en quatre classes. Attention, un sous-anneau est entendu au sens actuel, avec élément-unité.

Bonne nuit.
Fr. Ch.
13/08/2019

Dans mon dernier message, j'ai opté pour une rédaction qui se ramène aux principes et pourrait s'appliquer à d'autres corps ordonnés archimédiens, mais on peut aussi utiliser la fonction partie entière « plancher » $\left\lfloor ...\right\rfloor $.

$ \bullet$ On commence de même par noter que pour tout réel $\delta >0$ il existe $d \in \mathbb N^*$ tel que $0< \frac 1d < \delta$.
Si maintenant on a deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, il existe $d \in \mathbb N^*$ tel que $0< \frac 1d < b-a$. Soit $k=\left\lfloor da \right\rfloor $, qui est élément de $ \mathbb Z$.
Alors $ \frac kd \le a < \frac {k+1}d= \frac kd+\frac 1d< a+(b-a)=b $. Le rationnel $ \frac {k+1}d$ est élément de $]a,b[$.

$ \bullet$ Il en résulte que tout intervalle non trivial contient une infinité de rationnels, donc en particulier un rationnel non nul.

$ \bullet$ Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, et soit $\xi$ un irrationnel positif. Alors l'intervalle $] \frac a{\xi}, \frac b{\xi}[$ contient un rationnel non nul $r$. Et l'intervalle $]a,b[$ contient le réel $r \xi$, qui est irrationnel.

$ \bullet$ Soit $A$ un sous-anneau de $ \mathbb R$, qui n'est ni $ \mathbb R$ ni $ \mathbb Z$. On a : $\mathbb{Z}\subset A$. Soit $x\in A\backslash \mathbb{Z}$ et soit $q= x- \left\lfloor x \right\rfloor$. Alors $q \in A $ et $q \in ]0,1[$. D'où $q^n \in A$ pour tout $ n \in \mathbb N^*$. Comme $\lim_{n \rightarrow + \infty} q^n =0$, il en résulte que pour tout réel $\delta >0$ il existe $r \in A$ tel que $0< r < \delta$. Etc...

Bonne journée.
Fr. Ch.

On peut aussi utiliser pompeusement l’écriture décimale d’un réel et construire aussi pompeusement ce rationnel en utilisant le fait que son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.