Série convergente à deux variables
Bonjour
J'ai la série suivante où je dois déterminer son domaine de définition $\Omega$ $$
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \dfrac{x^n}{1+y^{2n}}.
$$ J'ai trouvé que $\Omega=]-1,1[\times\mathbb{R}\cup \{(x,y)\mid 1\leq |x|<|y|\}\cup \{(x,y)\mid 1\leq |y|< |x|<|y|^2\}$. Est-ce que c'est vrai ?
J'ai la série suivante où je dois déterminer son domaine de définition $\Omega$ $$
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \dfrac{x^n}{1+y^{2n}}.
$$ J'ai trouvé que $\Omega=]-1,1[\times\mathbb{R}\cup \{(x,y)\mid 1\leq |x|<|y|\}\cup \{(x,y)\mid 1\leq |y|< |x|<|y|^2\}$. Est-ce que c'est vrai ?
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Réponses
Tout d'abord, on a $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{1+y^{2n}}=y^2.
$$- Soit $(x,y)\in \{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; |x|<|y|^2\}$. Alors on a : $$
\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\dfrac{|x|^n}{1+y^{2n}}}= \dfrac{|x|}{y^2}<1,
$$ alors la série converge.
- Soit $(x,y)\in \{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; 1\leq|x|<|y|\}$. Alors on a : $$
\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\dfrac{|x|^n}{1+y^{2n}}}=0,
$$ donc la série converge aussi.
Donc $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; |x|<|y|^2\}\cup \{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; 1\leq|x|<|y|\}~\subset~ \Omega$.
où ça ?
Encore faux pour |y|<1
edit je parle de ceci :
"Tout d'abord, on a $\lim_{n\rightarrow\infty}
\sqrt{1+y^{2n}}=y^2.$ "