Série convergente à deux variables

stikawi
stikawi
dans Analyse
Bonjour
J'ai la série suivante où je dois déterminer son domaine de définition $\Omega$ $$
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \dfrac{x^n}{1+y^{2n}}.

$$ J'ai trouvé que $\Omega=]-1,1[\times\mathbb{R}\cup \{(x,y)\mid 1\leq |x|<|y|\}\cup \{(x,y)\mid 1\leq |y|< |x|<|y|^2\}$. Est-ce que c'est vrai ?

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Toute affirmation sans preuve peut être niée sans preuve.
    Le 😄 Farceur


  • stikawi
    stikawi
    Cher gebrane, merci pour vos réponses rapides à mes questions. Après une petite réflexion voici ce que j'ai fait.
    Tout d'abord, on a $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{1+y^{2n}}=y^2.

    $$- Soit $(x,y)\in \{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; |x|<|y|^2\}$. Alors on a : $$

    \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\dfrac{|x|^n}{1+y^{2n}}}= \dfrac{|x|}{y^2}<1,
    $$ alors la série converge.

    - Soit $(x,y)\in \{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; 1\leq|x|<|y|\}$. Alors on a : $$
    \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\dfrac{|x|^n}{1+y^{2n}}}=0,
    $$ donc la série converge aussi.

    Donc $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; |x|<|y|^2\}\cup \{(x,y)\in\mathbb{R}^2,\; 1\leq|x|<|y|\}~\subset~ \Omega$.
  • gebrane
    gebrane
    Tu commences déjà par un tout d'abord faux :-D
    Le 😄 Farceur


  • stikawi
    stikawi
    :-S
    où ça ?
  • gebrane
    gebrane
    Car c'est faux pour y=0
    Encore faux pour |y|<1

    edit je parle de ceci :

    "Tout d'abord, on a $\lim_{n\rightarrow\infty}
    \sqrt{1+y^{2n}}=y^2.$ "
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    Je suggère de distinguer $|y| \le 1$ et $|y| > 1$, et de donner la réponse sous la forme : l'ensemble de définition est l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb R^2$ tels que : $(|y| \le 1$ et ...) ou $(|y| > 1$ et ...).
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