Continuité de cette fonction

Bonjour

Utilise le fait que

$\lambda x-\lambda_0x_0=\lambda x-\lambda x_0+\lambda x_0-\lambda_0x_0$

Si on note $x= (u,\lambda)$ et $h = (v,\epsilon) $, alors
\begin{align*}
\left| f(x+h) - f(x) \right| &= \left| (\lambda+\epsilon)(u+v) - \lambda u \right|= \left|\lambda v +\epsilon u +\epsilon v \right| \\

&\leq \left| \lambda v \right| + \left|\epsilon u\right| + \left|\epsilon v\right| \\

&\leq \|x\| \|h\| + \|x\| \|h\| + \|h\|^2

\end{align*} Et ça tend bien vers 0 quand $\|h\|$ tend vers 0

PS : la "valeur absolue" est ici la norme de $E$, et $\|.\|$ la norme de l'espace produit.

On fixe $(v_0,\alpha_0)\in K\times E$ et $\varepsilon >0$. On note ||.|| la norme de E et |.| la norme de $K$ et la norme dans $K\times E$ est $max(|.|,||.||)$.

On cherche $\delta>0$ tel que si $|\alpha-\alpha_0|\leq \delta$ et $|v-v_0|\leq \delta$ alors $\lVert \alpha_0v_0-\alpha v\rVert\leq \varepsilon$. On a
\begin{align}
\lVert \alpha_0v_0-\alpha v\rVert&\leq \lVert \alpha_0v_0-\alpha v_0\rVert+
\lVert \alpha v_0-\alpha v\rVert\\
&=|\alpha_0-\alpha|\lVert v_0\rVert+|\alpha|\lVert v-v_0\rVert\\
&\leq |\alpha_0-\alpha|(\lVert v_0\rVert+\lVert v-v_0\rVert)+|\alpha_0|\lVert v-v_0\rVert.
\end{align}
On choisit $\delta$ tel que $\delta^2+\delta(\lVert v_0\rVert+|\alpha_0|)\leq \varepsilon$ (cela est possible).

dans ce cas, $\lVert \alpha_0v_0-\alpha v\rVert\leq \varepsilon$ lorsque $|\alpha-\alpha_0|\leq \delta$ et $\lVert v- v_0\rVert\leq \delta$.
Autrement dit $\lVert \alpha_0v_0-\alpha v\rVert\leq \varepsilon$ lorsque $ \max(|\alpha-\alpha_0|, \lVert v-v_0\rVert)\leq \delta$

edit Grillé par Tryss
Je ne sais pas si cette fonction est Lipschitzienne ou uniformément continue sur $K\times E$ ( Je n'ai pas réfléchi du tout).

On peut démontrer que sa fonction est localement Lipschitzienne ce qui assure aussi la continuité