Intégrale avec des log à évaluer
Bonjour,
Soit pour $n$ entier supérieur à $14$ la fonction $f_{n}:=x\mapsto\ln(n-x).\ln(n+x)-x$. La fonction $f_{n}$ s'annule en deux points $a(n)\approx -n$ et $b(n)>0$, points entre lesquels elle est positive.
Soit $J(n):=\int_{a(n)}^{b(n)}f_{n}(t)dt$.
A-t-on $J_{n}<n^2$? Si oui, quelle majoration de $R^{2}(n):=n^2-J(n)$ peut-on espérer obtenir ?
Merci d'avance.
Soit pour $n$ entier supérieur à $14$ la fonction $f_{n}:=x\mapsto\ln(n-x).\ln(n+x)-x$. La fonction $f_{n}$ s'annule en deux points $a(n)\approx -n$ et $b(n)>0$, points entre lesquels elle est positive.
Soit $J(n):=\int_{a(n)}^{b(n)}f_{n}(t)dt$.
A-t-on $J_{n}<n^2$? Si oui, quelle majoration de $R^{2}(n):=n^2-J(n)$ peut-on espérer obtenir ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Bonjour,
Je ne trouve pas ton résultat pour les zéros de la fonction $f$ : $a\sim -n+e^{-n/\ln(2n)}$ et $b(n)\sim \ln^2 n$ pour $n\to +\infty.$
Comme une primitive de l’intégrande est connue, il s’agit d’un calcul de limite... -
Il faudrait commencer par donner l'intervalle de définition de cette fonction.
J'imagine qu'on s'intéresse à une fonction à valeurs réelles. -
La majoration de $J(n)$ semble être vraie.
La différence $\left|J(n)-n^2\right|$ semble augmenter avec $n$. -
Soit $m(n)$ le réel tel que $f_n$ atteint son maximum $M(n)$ en $m(n)$.
Compte tenu des propriétés de la fonction à intégrer, il semble qu'une bonne approximation de $J(n)$ soit donnée par $J_{\varepsilon}(n):=(1-\varepsilon)M(n)(m(n)-a(n))+(M(n)+b(n)/2)×(-b(n)-m(n))+b(n)^2$, avec $\varepsilon=\dfrac{m(n)-a(n)}{2M(n)}$. -
Sylvain
Pourquoi la fonction Li_2 a disparue subitement dans ton approximation ?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=\int+(ln(n-x)ln(n+x)-x)dxLe 😄 Farceur -
J'ai procédé en physicien en découpant l'intégrale en trois parties : une aire approchée entre $a(n)$ et $m(n)$, une deuxième entre $m(n)$ et $-b(n)$ et une troisième entre $-b(n)$ et $b(n)$ en utilisant le fait que $m(n)$ est proche de $-n$ et la dérivée de $f_{n}$ proche de $-1$ sur $[-b(n),b(n)]$.
-
C'est quand même étrange pour un matheux de démontrer des inégalités en utilisant des approximationsLe 😄 Farceur
-
C'est quoi un matheux ? Je n'ai pas fait d'études de maths. Et je ne prétends pas avoir fini mes investigations sur cette question. Enfin, je vois mal comment l'expression donnée par Wolframalpha peut aider à montrer que $J(n)<n^2$, d'autant qu'on ne connaît pas les valeurs exactes de $a(n)$ et de $b(n)$.
-
Bonjour,
Soit $J(n) = \int_{a(n) }^b{(n)} f_n(t) dt$ avec $f_n = \ln(n-x) \ln(n+x)-x$ pour $x \in ]-n, n[$ et $a(n) < b(n)$ les deux zéros de $f_n.$
On montre que :
$a(n) +n\sim + e^{-n/\ln(2n)}, (n \to +\infty)$ et donc que $a(n) \sim -n, (n \to +\infty)$,
$b(n) \sim \ln^2 n, (n \to +\infty)$,
$max_{[a(n), b(n)]} f_n \sim n, (n \to +\infty)$,
et donc $J(n) \sim {n \over 2} (b(n) - a(n)) \sim {n^2 \over 2} < n^2, (n \to +\infty)$,
et donc $n^2 - J(n) >{n^2 \over 2}, (n \to +\infty)$.
Le coefficient $2$ est une approximation... -
@YvesM
Simplement pour signaler une erreur de raisonnement dans
Par exemple posant $J(n)=\frac 12 n^2 +n$ on a $J(n)\sim {n^2 \over 2} < n^2 (n \to +\infty) $mais on ne peut pas conclure que $n^2 - J(n)> {n^2 \over 2}, (n \to +\infty)$YvesM ecrivait a écrit:$J(n)\sim {n^2 \over 2} < n^2, (n \to +\infty)$, et donc $n^2 - J(n)> {n^2 \over 2}, (n \to +\infty)$.
Comme je l'ai dit à Sylvain, on ne prouve pas des inégalités par des équivalents ( sans justifications)Le 😄 Farceur -
Bonjour,
Quand on fait le calcul on a un terme supplémentaire en $\ln^2 n$ qui permet de conclure sur l’inégalité à l’infini.
Je n’ai pas détaillé parce que la question sur $n^2-J(n)$ paraît bizarre quand $J(n)$ n’est pas équivalent à $n^2$ à l’infini.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 25
+12 Invités