Partie entière

Gon · August 2019

Bonsoir à tous, j'ai une préoccupation.

$\forall n \in \mathbb{N}$ , on a $E(n)=n$, ainsi, dans mon exercice,
comme $x \in \mathbb{R}$, avec $x\geq0$ alors $E(\sqrt{x})\geq0$, je conclus que $E(E(\sqrt{x}))=E(\sqrt{x})$

Merci pour vos réponses.
NB. L'exercice se trouve juste en bas. 89338

Keynes · August 2019

@Attien c'est bien correct
on a $\forall x\in \mathbb{R}_{+}: \sqrt{[x]}\leq\sqrt{x}$
donc $ [ \sqrt{[x]}]\leq[\sqrt{x}]$
de plus $ [ \sqrt{[x]}]=\max \{n\in \mathbb{N}: n\leq \sqrt{[x]}\}=\max \{n\in \mathbb{N}: n^2\leq [x]\}$
à toi de jouer En posant $ A=\{n\in \mathbb{N}: n^2\leq [x]\}$
montre que $ [\sqrt{x}]\in A$

Gon · August 2019

désolé je me suis trompé dans mon post .....car le résultat ne me permettra pas à résoudre mon exercice , en fait j'avais mal lu l'énoncé.

noix de totos · August 2019

Une méthode possible :

$\triangleright$ soit $n := \left \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \right \rfloor$. Ainsi $n \leqslant \sqrt{\lfloor x \rfloor} < n+1$, puis $n^2 \leqslant \lfloor x \rfloor < (n+1)^2.$

$\triangleright$ L'équivalence $x < k \leqslant y \Longleftrightarrow \lfloor x \rfloor < k \leqslant \lfloor y \rfloor$ entraîne alors que $n^2 \leqslant x < (n+1)^2$, puis $n \leqslant \sqrt x < n+1$ et donc $n = \left \lfloor \sqrt x \right \rfloor$.

Il y a un résultat général : soit $f$ une fonction continue, strictement croissante telle que $f(x) \in \mathbb{Z} \Longrightarrow x \in \mathbb{Z}$. Alors
$$\left \lfloor f \left( \lfloor x \rfloor \right) \right \rfloor = \left \lfloor f (x) \right \rfloor.$$
Égalité identique avec la partie entière supérieure.

Référence. R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik, Mathématiques Concrètes. Fondations pour l'Informatique, 2éme Éd., Thomson Publishing, 1998, page 77.

gebrane · August 2019

Bonjour noix de totos
je ne vois pas le entraîne alors que dans

"L'équivalence $x < k \leqslant y
\Longleftrightarrow \lfloor x \rfloor < k
\leqslant \lfloor y \rfloor$ entraîne alors que $n^2 \leqslant x < (n+1)^2$"
je viens juste de me réveiller :-D

noix de totos · August 2019

L'équivalence indiquée avec $k:=n^2$ et $y:=x$ donne $n^2 \leqslant \lfloor x \rfloor \Longleftrightarrow n^2 \leqslant x$.

Même chose pour l'autre inégalité, en prenant $k:=(n+1)^2$.

gebrane · August 2019

ok merci

Gon · August 2019

Merci pour vos différentes réponses, @noix de totos(je n'avais jamais pensé à cette équivalence) et aussi à @Keynes.

@Keynes , en utilisant l'équivalence proposée par @noix de totos voici comment j'arrive à montrer que $E(\sqrt{x}) \in A$.

posons $p=E(\sqrt{x})$.

on sait que $p\leq \sqrt{x}<p+1$ alors par croissance de la fonction carrée sur $\mathbb{R}_{+}$, on a $p^{2}\leq x$ , donc $p^2\leq E(x)$ ,de ce qui précède , on a $p \in A$