Relation de Chasles sans théorème fondamental
Bonjour,
j'ai repris aujourd'hui mon cours de calcul intégral de cette année dans lequel je n'ai pas de preuve pour la relation de Chasles. J'ai donc utilisé le théorème fondamental pour le faire mais la preuve de ce dernier utilise la relation de Chasles. Pour les preuves de la relation de Chasles que j'ai pu trouver sur internet, elles utilisaient soit le théorème fondamental du calcul intégral, soit des notions que je ne connais pas..
J'ai donc cherché par moi-même et voilà ce que je trouve, je viens vers vous pour voir si la démonstration et la rédaction sont correctes.
Soient $a, b$ et $c$ trois réels tels que $a<c<b$.
Soit $f$ une fonction continue sur $\left [ a,b \right ]$
Soit $(a_{k})_{k\in \left [ \left | 0,n \right | \right ]}$ une subdivision de $\left [ a,b \right ]$
Soit $S_{n} = \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(a_{k})$ une somme de Riemann associée à $f$ sur $\left [ a,b \right ]$.
Soit $A_{n} = \frac{c-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(a_{k}) $ une somme de Riemann associée à $f$ sur $\left [ a,c \right ]$.
Soit $B_{n} = \frac{b-c}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(a_{k}) $ une somme de Riemann associée à $f$ sur $\left [ c,b \right ]$.
Montrons que : $\int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{c}f(t)dt + \int_{c}^{b}f(t)dt$
Par linéarité de la somme, on a: $A_{n} + B_{n} = S_{n}$.
Et d'après le théorème de Riemann* : $S_{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow} \int_{a}^{b}f(t)dt$.
Or $A_{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow} \int_{a}^{c}f(t)dt$
et $B_{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow} \int_{c}^{b}f(t)dt$.
Donc par unicité de la limite : $\int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{c}f(t)dt + \int_{c}^{b}f(t)dt$
* Je précise que le théorème de Riemann (ou plutôt ce théorème, j'imagine qu'il y en a plusieurs :-D) est démontré sans utiliser la relation de Chasles, mais uniquement dans le cas des fonctions de classe $C^{1}$.
Chose étrange: dans le cours on voit les sommes de Riemann après la relation de Chasles, donc je passe sûrement à côté de quelque chose de plus facile...
Merci d'avance !
j'ai repris aujourd'hui mon cours de calcul intégral de cette année dans lequel je n'ai pas de preuve pour la relation de Chasles. J'ai donc utilisé le théorème fondamental pour le faire mais la preuve de ce dernier utilise la relation de Chasles. Pour les preuves de la relation de Chasles que j'ai pu trouver sur internet, elles utilisaient soit le théorème fondamental du calcul intégral, soit des notions que je ne connais pas..
J'ai donc cherché par moi-même et voilà ce que je trouve, je viens vers vous pour voir si la démonstration et la rédaction sont correctes.
Soient $a, b$ et $c$ trois réels tels que $a<c<b$.
Soit $f$ une fonction continue sur $\left [ a,b \right ]$
Soit $(a_{k})_{k\in \left [ \left | 0,n \right | \right ]}$ une subdivision de $\left [ a,b \right ]$
Soit $S_{n} = \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(a_{k})$ une somme de Riemann associée à $f$ sur $\left [ a,b \right ]$.
Soit $A_{n} = \frac{c-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(a_{k}) $ une somme de Riemann associée à $f$ sur $\left [ a,c \right ]$.
Soit $B_{n} = \frac{b-c}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(a_{k}) $ une somme de Riemann associée à $f$ sur $\left [ c,b \right ]$.
Montrons que : $\int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{c}f(t)dt + \int_{c}^{b}f(t)dt$
Par linéarité de la somme, on a: $A_{n} + B_{n} = S_{n}$.
Et d'après le théorème de Riemann* : $S_{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow} \int_{a}^{b}f(t)dt$.
Or $A_{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow} \int_{a}^{c}f(t)dt$
et $B_{n} \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow} \int_{c}^{b}f(t)dt$.
Donc par unicité de la limite : $\int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{a}^{c}f(t)dt + \int_{c}^{b}f(t)dt$
* Je précise que le théorème de Riemann (ou plutôt ce théorème, j'imagine qu'il y en a plusieurs :-D) est démontré sans utiliser la relation de Chasles, mais uniquement dans le cas des fonctions de classe $C^{1}$.
Chose étrange: dans le cours on voit les sommes de Riemann après la relation de Chasles, donc je passe sûrement à côté de quelque chose de plus facile...
Merci d'avance !
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Réponses
Non, la subdivision $(a_k)$ n'est pas appropriée pour les segments $[a,c]$ et $[c,b]$.
Et il faut mieux préciser comment est choisie $(a_k)$ (que vaut le pas de la subdivision ?) pour pouvoir passer à la limite. D'ailleurs, une notation du type $(a_{n,k})_{k \in [\![0,n]\!]}$ pourrait être plus adaptée.
Pour la subdivision on aurait : $a = a_{0} < ... < a_{i} = c < ... < a_{n} = b$ avec comme pas : $\frac{b-a}{n}$.
Et donc j'ai essayé de refaire de nouvelles sommes de Riemann avec ces notations mais je bloque un peu pour l'instant.
Je ne comprends pas trop comment utiliser cette nouvelle notation, on note $c = a_{n,0}$ puis on va jusqu'à $b = a_{n,n}$ ? Mais je suppose que non car ça veut dire qu'on met $c$ au milieu de $a$ et $b$.. D'ailleurs si c'était le cas je n'aurais aucun soucis pour les calculs sur lesquels je bloque!
La relation de Chasles peut se démontrer par linéarité de l’intégrale ! non?
J'ai eu la bonne idée d'utiliser le théorème fondamental pour la linéarité de l'intégrale :-D
Mais on est pas sûr que la distance entre $a$ et $c$ soit un multiple de $\frac{b-a}{n}$.
Pour pouvoir écrire des sommes de Riemann cohérentes sur les différents segments, tu peux construire 3 subdivisions $\sigma_{[a,b],n}$, $\sigma_{[a,c],n}$ et $\sigma_{[c,b],n}$ respectivement de $[a,b]$, $[a,c]$ et $[c,b]$ (avec un pas qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini) telles que la partie de $\sigma_{[a,b],n}$ qui est dans $[a,c]$ coïncide avec $\sigma_{[a,c],n}$ et la partie de $\sigma_{[a,b],n}$ qui est dans $[c,b]$ coïncide avec $\sigma_{[c,b],n}$.
Merci encore !
Bonne journée.
Si c'est à partir des sommes de Riemann, impose-t-on des subdivisions de pas constant ? Car ce ne sont que des cas particuliers de subdivision !
Bonne question, Rakam. Mais ça ne peut pas être par des subdivisions à pas constant, ça rendrait la fonction indicatrice de $\mathbb Q$ Riemann-intégrable sur $[0;1]$.
Cordialement.
Rakam, on définit d'abord les intégrales sur les fonctions en escalier comme une aire sous une courbe. Puis, on parle des sommes de Riemann. (Et c'est l'idée des sommes de Riemann de pouvoir intégrer une fonction continue comme une fonction en escalier, non?)
Pour les sommes de Riemann à l'ordre $n$, le pas est toujours $\frac{b-a}{n}$ pour $f$ continue sur $[a,b]$ .
Sinon je n'ai pas le temps tout de suite de reprendre le problème, je le ferai dans les prochains jours.. Mais j'ai compris l'idée de ce que disait Calli plus haut, le tout est de trouver le bon pas...
Bonne journée!
La méthode ne marche pas pour $a=0, b=2, c=\sqrt 2$ et des subdivisions régulière. Aucune des subdivisions régulières de $[a,b]$ (donc avec des valeurs rationnelles) ne donne de subdivision régulière de $[a,c]$ (avec des valeurs irrationnelles, à l'exception de $a$).
J'ai l'impression que tu n'as pas une définition précise de l'intégrale de Riemann d'une fonction continue, ce qui interdit des preuves strictes. Si tu n'as comme définition que l'aire (algébrique) sous la courbe, tu peux te contenter de l'intuition que l'aire de $a$ à $b$ est l'aire de $a$ à $c$ plus l'aire de $c$ à $b$.
Cordialement.
Merci Gerard0, en effet je ne m'en sortirai pas avec cette méthode. Merci aussi Calli et désolé j'aurais dû préciser mon niveau (Bac +1).
Comme le proposent Jojolaguimauve et Gebrane, il faudrait d'abord montrer la linéarité de l'intégrale. Puis s'en servir pour démontrer la relation de Chasles.
Pour la linéarité de l'intégrale, on peut simplement prendre $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$ puis leurs sommes de Riemann associées. Par linéarité de la somme on a la linéarité de l'intégrale. (Encore une fois la linéarité de l'intégrale n'est pas utilisée pour démontrer le théorème de Riemann, mais il doit bien y avoir plus simple pour montrer la linéarité!). Je suis assez sûr de moi sur ce coup donc je ne vais pas taper toute la preuve.
Pour la relation de Chasles je suis un peu bloqué par contre, mais j'ai quand même une idée à proposer:
Soient $a,b,c$ trois réels tels que $a<c<b$
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$
Soit $f_1 : t \mapsto \left\{\begin{matrix}
f(t) , t\in [a,c[\\ 0 , t \in [c,b]
\end{matrix}\right.$
Soit $f_2 : t \mapsto \left\{\begin{matrix}
0 , t\in [a,c[\\ f(t) , t \in [c,b]
\end{matrix}\right.$
Alors $\forall x \in [a,b], f(x) = f_1(x) + f_2(x)$.
Et $f_1, f_2$ sont continues sur $[a,c[$ et $[c,b]$ respectivement.
On a donc : $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b} (f_1 + f_2)(x)dx = \int_{a}^{c}f_1(x)dx + \int_{c}^{b}f_2(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$
Mais il y a quand même des problèmes..
1) $\int f+g = \int f + \int g$ si $f$ et $g$ sont continues sur un même segment (en tout cas c'est comme ça que cette proposition figure dans mon cours). Ce n'est pas le cas de $f_1$ et $f_2$..
2) j'aimerais écrire $\int_{[a,b]}f_2 = \int_{[c,b]}f_2 $ mais je n'ai pas le droit car $f_2$ n'est pas continue sur $[a,b]$ !
3) $f_1$ est continue sur $[a,c[$, ai-je le droit d'écrire $\int_{a}^{c}f_1(t)dt$ ?
Alors suis-je dans la bonne direction? Comment régler ces problèmes?
Merci encore.
Cordialement.
J'avais bien pensé à ça, mais la linéarité, tu l'as établie pour des fonctions continues (les seules que tu utilises), donc ça coince : $f_1$ et $f_2$ ne sont pas en général continues. Ta preuve ne marche que si f(c)=0.
Cordialement.
https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ti/node5.html
Le point 1) peut être surmonté en ramenant le cas général au cas $f(c) = 0$ en considérant $x \mapsto f(x) - f(c)$. Le problème de continuité de $f_1$ et $f_2$ dans le point 2) est résolu par la même méthode. Le point 3) ne pose pas problème car on peut prolonger $f_1$ par continuité sur $[a,c]$ puisque $f_1(c)$ n'intervient pas dans les sommes de Riemann $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{c-a}n f_1\left(a+k\frac{c-a}n\right)$.
Cependant, il reste à dire que si $f_1$ est continue sur $[a,b]$ et nulle sur $[c,b]$, alors $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \int_a^c f(t) \mathrm{d}t$. Est-ce que c'est dans ton cours ? Ce n'est pas trivial à montrer si on a le droit qu'à des subdivisions régulières.
Arroyo ne traite que d'intégrales de fonctions continues (*), ce n'est pas le cas du cours de Bernard Ycart.
Cordialement.
(*) de plus, calculée par des sommes de Riemann sur des subdivisions régulières.
Gebrane, malheureusement je ne connais pas les notions que Bernard Ycart utilise à partir du moment où il parle de sommes de Riemann.. (fine, adaptée..)
En effet je ne parle ici que de fonctions continues sur un segment et de subdivisions régulières, je n'ai jamais entendu parler d'autre chose pour l'instant.
Bonjour Calli,
OK pour le point 3), j'y ai pensé aussi moins la justification!
Pour le dernier point que tu abordes, non ce n'est pas dans mon cours. Etant donné que je ne connais rien en dehors des subdivisions régulières je pense que je l’admettrai pour l'instant..
Du coup pour résoudre le point 1), on considère 3 fonctions $g, g_1, g_2$ avec $\forall x \in [a,b], g(x) = f(x) - f(c)$ et $g_1,g_2$ sont pareilles que $f_1,f_2$, on remplace juste $f$ par $g$.
On se retrouve bien avec la relation de Chasles pour $f$, tout va bien.
Par contre je ne comprends pas trop pourquoi il règle le point 2), mais je pense que je vais juste l'admettre pour l'instant.
Merci pour vos réponses!
Sinon, voici ci-dessous une solution directe qui n'utilise que des sommes de Riemann à subdivisions régulières. La preuve est assez lourde car tu n'as pas beaucoup d'outils à ta disposition pour nous simplifier la vie.
Soit $n \in \mathbb N$. On pose $E = \{ a + k\frac{b-a}n, k \in [\![0,n-1]\!] \}$ et $F = \{ a + k\frac{c-a}n, k \in [\![0,n-1]\!] \} \cup \{b + k\frac{c-b}n, k \in [\![0,n-1]\!] \}$. Soit $\sigma_{n,0} < \dots < \sigma_{n,p_n}$ l'unique suite de nombres ordonnée telle que $\{ \sigma_{n,\ell}, \ell \in [\![0,p_n]\!] \} = E \cup F$ (c'est à dire qu'on réunit les 3 subdivisions régulières à $n$ parts de $[a,b]$, $[a,c]$ et $[c,b]$, qu'on obtient une subdivision de $[a,b]$ et qu'on la trie).
Pour tout $\ell \in [\![0,p_n]\!]$, on pose $\alpha_\ell = \max\{ \alpha \in E \text{ tq } \alpha \leqslant \sigma_{n,\ell} \} \text{et } \beta_\ell = \max\{ \beta \in F \text{ tq } \beta \leqslant \sigma_{n,\ell} \}$.
On a donc $$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{b-a}n f\left(a+k\frac{b-a}n\right) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{c-a}n f\left(a+k\frac{c-a}n\right) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b-c}n f\left(a+k\frac{b-c}n\right) = \sum_{\ell = 0}^{p_n} (\sigma_{n,\ell+1} - \sigma_{n,\ell}) (f(\alpha_\ell) - f(\beta_\ell)).$$
(Ça peut péniblement se démontrer par des manipulations de sommes, mais le mieux est de se convaincre que ça marche.)
Soit $\varepsilon > 0$. Soit $\eta > 0$ associé à $\varepsilon$ pour l'uniforme continuité de $f$ sur $[a,b]$. Soit $n_0$ tel que $\frac{b-a}{n_0} < \eta$. Alors
$$\forall n \geqslant n_0, \sum_{\ell = 0}^{p_n} (\sigma_{n,\ell+1} - \sigma_{n,\ell}) |f(\alpha_\ell) - f(\beta_\ell)| \leqslant \sum_{\ell = 0}^{p_n} \frac{b-a}n \varepsilon= p_n \frac{b-a}n \varepsilon \leqslant 2(b-a) \varepsilon.$$
Donc $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{c-a}n f(a+k\frac{c-a}n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b-c}n f(a+k\frac{b-c}n)$ tends vers $\int_a^b f(t) \mathrm{d}t = \lim_{n \rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b-a}n f(a+k\frac{b-a}n)$. D'où la relation de Chasles.
merci pour cette preuve! Mais encore une fois il y a une phrase que je ne comprends pas: J'ai entendu parler de continuité uniforme via des camarades de MPSI mais cette notion reste étrangère pour moi.
En tout cas je n'aurais pas pu donner cette preuve, c'est clair.
Merci de m'avoir aidé.
Bien cordialement.
Bonne continuation