Salut, s'il vous plaît
Je veux résoudre l'équation différentielle suivante $$
y^{(4)}+3y^{(2)}+2y=0.
$$ La solution que je trouve est $$ y(x)=c_1 \exp(i\sqrt{2}x)+c_2 \exp(-i\sqrt{2}x)+c_3\exp(ix)+c_3\exp(-ix).
$$ Comment trouver la solution réelle sans $i$ ?
Merci.
Réponses
Mais comment écarter la partie imaginaire ?
[Abraham de Moivre (1667-1754) prend toujours une majuscule. AD]
$y^{(4)}+3y^{(2)}+2=0.$ Donc pas de y. La modification tardive du message initial rend la lecture de ce fil assez aléatoire.
Bonsoir.
Cette équation se ramène à une résolution d'équation d'ordre 2 en posant y"=z.
Cordialement.
Si $s$ est réel alors $s=\bar{s}$. Tu écris cette équation pour trouver des contraintes sur les coefficients ; puis tu utilises Moivre : tu obtiens une combinaison linéaire de sinus et cosinus...
[édit : ça donne la même chose que la méthode proposée par YvesM]
Cordialement.
$y=c_1 \cos(\sqrt{2}x)+i c_1 \sin(\sqrt{2}x)+c_2\cos(-\sqrt{2}x)+ic_2\sin(-\sqrt{2}x)+c_3\cos(x)+ic_3\sin(x)+c_4\cos(-x)+ic_4\sin(-x)$
l'étape suivante je ne la comprends pas
La partie imaginaire d’un nombre réel est nulle.
La solution réelle de $z''+ a^2 z=0$ avec $a$ réel non nul est $A \sin (at) + B \cos(at)$.
Sinon tu relis mes messages et tu suis les instructions.
Puisque $y$ est réel il égale son conjugué. Donc $\bar{c_1}=c_2$... c’est une des contraintes. Puis $z+\bar{z}=2\Re(z)$... puis résultat final.
Essaie d’abord avec $z^{(2)}+a^2 z=0$ avant d’appliquer sur ton équation.
$y(x)=(c_1\cos(\sqrt{2}x)+c_2\cos(\sqrt{2} x+c_3 \cos(x)+c_4\cos(x))+i(c_1\sin(\sqrt{2}x)-c_2\sin(\sqrt{2} x+c_3 \sin(x)-c_4\sin(x))$
la partie imaginaire égale à 0 donc $c_1=c_2$ et $c_3=c_4$ mais comme ça il n'a plus de sin dans la solution
Donc toute solution réelle est combinaison linéaire de cette famille.
Il suffit de savoir que les solutions réelles (resp complexes) forment un espace vectoriel de dimension 4 sur $\R$ (resp sur $\C$).
> Donc j'enleve la ou il ya sin ?
Non, puisque les $c_i$ sont des complexes.
@math89 :
On cherche les solutions réelles de $\displaystyle y^{(4)} + 3 y^{(2)} +2y=0$ sur un intervalle de $\displaystyle \R.$ On recherche les solutions sous la formes $\displaystyle e^{rx}, r \in \C$ et alors $\displaystyle r^4+3r^2+2 = (r^2+1)(r^2+2)=0$ dont les solutions sont $\displaystyle \pm i, \pm \sqrt{2} i.$
Les solutions réelles sont donc de la forme (1) : $\displaystyle y(x) = A \cos(x)+B \sin(x) +C \cos(\sqrt{2} x) +D \sin(\sqrt{2} x) $ pour tout $x$ réel.
Le cours dit que la solution la plus générale est une combinaison de quatre solutions indépendantes : on a donc trouvé toutes les solutions.
Si on a la maladresse d'écrire les solutions sous la forme complexe : $\displaystyle y(x) =a e^{ix}+b e^{-ix} + c e^{i \sqrt{2} x} + d e^{-i \sqrt{2} x} $ avec $\displaystyle a,b,c,d \in \C$, alors on écrit que $y$ est réelle et donc $\displaystyle y=\bar{y}$ et donc : $\displaystyle a=\bar{b}$ et $\displaystyle c=\bar{d}.$ Puis, comme $\displaystyle z+\bar{z}=2 \Re(z)$ on a $\displaystyle y(x) = 2 \Re(a e^{ix}) + 2 \Re(c e^{i \sqrt{2} x} ).$ Comme $\displaystyle a=u+iv$ et $\displaystyle c=r+is$ avec $\displaystyle u,v,r,s \in \R$, on conclut : $\displaystyle y(x) = 2u \cos(x) - 2v \sin(x) + 2r \cos(\sqrt{2} x)-2s \sin(\sqrt{2} x)$ qui est bien de la me^me forme que (1).
Dans les deux cas l'équation se résout facilement ...
Je ne retrouve pas dans vos solutions la solution particulière $y=-\frac{x^2}3$.
Cordialement.
Math89 résout une autre équation que celle qu'il a écrite au début. Et plusieurs contributeurs ont utilisé sa résolution à la place de l'énoncé.
Math89, quel est ton équation ?
Math89 a modifié le texte initial, il aurait été bien de le signaler...
Cordialement