Solution d'équation différentielle d'ordre 4

Edit : Ce message, ainsi qu'un certain nombre de messages suivants parle de l'équation initialement écrite :
$y^{(4)}+3y^{(2)}+2=0.$ Donc pas de y. La modification tardive du message initial rend la lecture de ce fil assez aléatoire.

Bonsoir.

Cette équation se ramène à une résolution d'équation d'ordre 2 en posant y"=z.

Cordialement.

Si tu cherches une solution réelle, pose $c_1=a+ib, c_2 = d+ie, c_3=f+ig, c_4=h+ik$, développe, puis choisis les constantes a, b, .. k de façon à ce que ta solution sont une fonction réelle.
[édit : ça donne la même chose que la méthode proposée par YvesM]

Cordialement.

Bonjour,

La partie imaginaire d’un nombre réel est nulle.

Bonjour

La solution réelle de $z''+ a^2 z=0$ avec $a$ réel non nul est $A \sin (at) + B \cos(at)$.

Sinon tu relis mes messages et tu suis les instructions.

Bonjour,

Puisque $y$ est réel il égale son conjugué. Donc $\bar{c_1}=c_2$... c’est une des contraintes. Puis $z+\bar{z}=2\Re(z)$... puis résultat final.

Essaie d’abord avec $z^{(2)}+a^2 z=0$ avant d’appliquer sur ton équation.

math89 écrivait:

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> Donc j'enleve la ou il ya sin ?

Non, puisque les $c_i$ sont des complexes.

Bonjour,

@math89 :

On cherche les solutions réelles de $\displaystyle y^{(4)} + 3 y^{(2)} +2y=0$ sur un intervalle de $\displaystyle \R.$ On recherche les solutions sous la formes $\displaystyle e^{rx}, r \in \C$ et alors $\displaystyle r^4+3r^2+2 = (r^2+1)(r^2+2)=0$ dont les solutions sont $\displaystyle \pm i, \pm \sqrt{2} i.$
Les solutions réelles sont donc de la forme (1) : $\displaystyle y(x) = A \cos(x)+B \sin(x) +C \cos(\sqrt{2} x) +D \sin(\sqrt{2} x) $ pour tout $x$ réel.
Le cours dit que la solution la plus générale est une combinaison de quatre solutions indépendantes : on a donc trouvé toutes les solutions.

Si on a la maladresse d'écrire les solutions sous la forme complexe : $\displaystyle y(x) =a e^{ix}+b e^{-ix} + c e^{i \sqrt{2} x} + d e^{-i \sqrt{2} x} $ avec $\displaystyle a,b,c,d \in \C$, alors on écrit que $y$ est réelle et donc $\displaystyle y=\bar{y}$ et donc : $\displaystyle a=\bar{b}$ et $\displaystyle c=\bar{d}.$ Puis, comme $\displaystyle z+\bar{z}=2 \Re(z)$ on a $\displaystyle y(x) = 2 \Re(a e^{ix}) + 2 \Re(c e^{i \sqrt{2} x} ).$ Comme $\displaystyle a=u+iv$ et $\displaystyle c=r+is$ avec $\displaystyle u,v,r,s \in \R$, on conclut : $\displaystyle y(x) = 2u \cos(x) - 2v \sin(x) + 2r \cos(\sqrt{2} x)-2s \sin(\sqrt{2} x)$ qui est bien de la me^me forme que (1).

Pour moi il y a une coquille au début, l'auteur pensait $2y$, mais je pourrais me tromper.

En bilan :

Math89 résout une autre équation que celle qu'il a écrite au début. Et plusieurs contributeurs ont utilisé sa résolution à la place de l'énoncé.

Math89, quel est ton équation ?