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Solution d'équation différentielle d'ordre 4

Envoyé par math89 
Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Salut, s'il vous plaît
Je veux résoudre l'équation différentielle suivante $$

y^{(4)}+3y^{(2)}+2y=0.

$$ La solution que je trouve est $$ y(x)=c_1 \exp(i\sqrt{2}x)+c_2 \exp(-i\sqrt{2}x)+c_3\exp(ix)+c_3\exp(-ix).
$$ Comment trouver la solution réelle sans $i$ ?
Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par math89.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Les constantes sont complexes. En utilisant la formule de Moivre et en ne gardant que la partie réelle, tu devrais t'en sortir
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
La formule de Moivre c'est-à-dire $\exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)$ c'est ça ?
Mais comment écarter la partie imaginaire ?

[Abraham de Moivre (1667-1754) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Dans la solution donnée pas wolfram alpha y a sin et cos les deux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Edit : Ce message, ainsi qu'un certain nombre de messages suivants parle de l'équation initialement écrite :
$y^{(4)}+3y^{(2)}+2=0.$ Donc pas de y. La modification tardive du message initial rend la lecture de ce fil assez aléatoire.


Bonsoir.

Cette équation se ramène à une résolution d'équation d'ordre 2 en posant y"=z.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par gerard0.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

Si $s$ est réel alors $s=\bar{s}$. Tu écris cette équation pour trouver des contraintes sur les coefficients ; puis tu utilises Moivre : tu obtiens une combinaison linéaire de sinus et cosinus...
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Si tu cherches une solution réelle, pose $c_1=a+ib, c_2 = d+ie, c_3=f+ig, c_4=h+ik$, développe, puis choisis les constantes a, b, .. k de façon à ce que ta solution sont une fonction réelle.
[édit : ça donne la même chose que la méthode proposée par YvesM]

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par gerard0.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
En utilisant Moivre j'obtiens


$y=c_1 \cos(\sqrt{2}x)+i c_1 \sin(\sqrt{2}x)+c_2\cos(-\sqrt{2}x)+ic_2\sin(-\sqrt{2}x)+c_3\cos(x)+ic_3\sin(x)+c_4\cos(-x)+ic_4\sin(-x)$

l'étape suivante je ne la comprends pas
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

La partie imaginaire d’un nombre réel est nulle.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Donc j'enleve la ou il ya sin ?
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
avatar
Bonjour

La solution réelle de $z''+ a^2 z=0$ avec $a$ réel non nul est $A \sin (at) + B \cos(at)$.

Sinon tu relis mes messages et tu suis les instructions.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Je ne comprends pas "trouve des contraintes sur les coefficients "?
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

Puisque $y$ est réel il égale son conjugué. Donc $\bar{c_1}=c_2$... c’est une des contraintes. Puis $z+\bar{z}=2\Re(z)$... puis résultat final.

Essaie d’abord avec $z^{(2)}+a^2 z=0$ avant d’appliquer sur ton équation.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
La 2eme ligne je n'ai pas compris.

$y(x)=(c_1\cos(\sqrt{2}x)+c_2\cos(\sqrt{2} x+c_3 \cos(x)+c_4\cos(x))+i(c_1\sin(\sqrt{2}x)-c_2\sin(\sqrt{2} x+c_3 \sin(x)-c_4\sin(x))$

la partie imaginaire égale à 0 donc $c_1=c_2$ et $c_3=c_4$ mais comme ça il n'a plus de sin dans la solution
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Ma solution $2 cos(\sqrt{2}x)+ 2cos(x)$ ne correspond pas a la solution du site ou est le problème ?
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Il est facile de voir que la famille $x\mapsto\cos(x\sqrt2),\;x\mapsto\sin(x\sqrt2),\;x\mapsto\cos(x),\;x\mapsto\sin(x)$ est famille libre de solutions réelles.
Donc toute solution réelle est combinaison linéaire de cette famille.
Il suffit de savoir que les solutions réelles (resp complexes) forment un espace vectoriel de dimension 4 sur $\R$ (resp sur $\C$).
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Comment voir cela svp je n'y arrive pas
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Que veut dire ton "cela" ? Précise ce que tu ne sais pas faire dans ce que j'ai énoncé !
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
math89 écrivait:
-------------------------------------------------------
> Donc j'enleve la ou il ya sin ?

Non, puisque les $c_i$ sont des complexes.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Bonjour
Toutes les réponses données ci-dessus sont fausses.

L'espace des solutions n'est pas un espace vectoriel mais un espace affine.
Il faut trouver une solution particulière : recherchez un polynôme du type $aX^2$.
Puis résoudre l'équation sans second membre $y^{(4)} +3y^{(2)}=0$ en posant $z=y^{(2)}$ vous vous ramenez à $z{''} +3z=0$.
L'espace des solutions est alors toute fonction qui s'écrit solution particulière +solution sans second membre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

@math89 :

On cherche les solutions réelles de $\displaystyle y^{(4)} + 3 y^{(2)} +2y=0$ sur un intervalle de $\displaystyle \R.$ On recherche les solutions sous la formes $\displaystyle e^{rx}, r \in \C$ et alors $\displaystyle r^4+3r^2+2 = (r^2+1)(r^2+2)=0$ dont les solutions sont $\displaystyle \pm i, \pm \sqrt{2} i.$
Les solutions réelles sont donc de la forme (1) : $\displaystyle y(x) = A \cos(x)+B \sin(x) +C \cos(\sqrt{2} x) +D \sin(\sqrt{2} x) $ pour tout $x$ réel.
Le cours dit que la solution la plus générale est une combinaison de quatre solutions indépendantes : on a donc trouvé toutes les solutions.

Si on a la maladresse d'écrire les solutions sous la forme complexe : $\displaystyle y(x) =a e^{ix}+b e^{-ix} + c e^{i \sqrt{2} x} + d e^{-i \sqrt{2} x} $ avec $\displaystyle a,b,c,d \in \C$, alors on écrit que $y$ est réelle et donc $\displaystyle y=\bar{y}$ et donc : $\displaystyle a=\bar{b}$ et $\displaystyle c=\bar{d}.$ Puis, comme $\displaystyle z+\bar{z}=2 \Re(z)$ on a $\displaystyle y(x) = 2 \Re(a e^{ix}) + 2 \Re(c e^{i \sqrt{2} x} ).$ Comme $\displaystyle a=u+iv$ et $\displaystyle c=r+is$ avec $\displaystyle u,v,r,s \in \R$, on conclut : $\displaystyle y(x) = 2u \cos(x) - 2v \sin(x) + 2r \cos(\sqrt{2} x)-2s \sin(\sqrt{2} x)$ qui est bien de la me^me forme que (1).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par YvesM.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Le dernier terme de la somme dans l'edo est-il 2 ou 2y ?
Dans les deux cas l'équation se résout facilement ...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par acetonik.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Pour moi il y a une coquille au début, l'auteur pensait $2y$, mais je pourrais me tromper.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Bonjour YvesM et Rakam.

Je ne retrouve pas dans vos solutions la solution particulière $y=-\frac{x^2}3$.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par gerard0.
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
En bilan :

Math89 résout une autre équation que celle qu'il a écrite au début. Et plusieurs contributeurs ont utilisé sa résolution à la place de l'énoncé.

Math89, quel est ton équation ?
Re: Solution d'équation différentielle d'ordre 4
il y a trois mois
Bonjour

Math89 a modifié le texte initial, il aurait été bien de le signaler...

Cordialement
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