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Sommes

Envoyé par Keynes 
Sommes
il y a deux mois
Bonjour besoin d'une indication pour aborder cette somme. $$
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{-n}H_{n}^{(2)}}{n^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{-n}H_{n}^{(3)}}{n}.
$$ Je rappelle que $ H_{n}^{(m)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}$ pour [un] certain entier $m.$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Sommes
il y a deux mois
Bonjour,

J'imagine que la question c'est le calcul ???
Idée que je n'ai pas vérifiée.

On peut poser $S(x)=\sum_{n\ge 1} x^n u_n/n^2$, $ résultat=S(1/2)$
Pour connaître $S$, il suffit de connaître $\sum_{n\ge 1} x^nu_n$ (en utilisant dérivation et multiplication par $x$) , puis il suffit de connaître $(1-x) \sum u_nx^n$, puis de connaître $\sum_n (u_{n+1}-u_n)x^n $ puis il suffit de connaître $\sum_n x^n/n^2$ et $\sum_n x^n/n^3$ puis de connaître $\sum x^n$.
Je ne sais pas si ça fonctionne : il y a peut-être des constantes qui apparaissent et qu'on ne sait pas calculer.

Sinon je ne vois pas.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
Re: Sommes
il y a deux mois
Merci @side je pense que ça marche bien



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Keynes.
Re: Sommes
il y a deux mois
Après des calculs pénibles j'aboutis à $ \frac{5}{6}\log^4(2)+\frac{\pi^4}{360}-\zeta(\overline{3},\overline{1})+\frac{9}{8}\zeta(3)\log(2)$ comme valeur finale de la somme
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